Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 323 



IT. Dans la géométrie euclidienne nous representens des 

 rotations infiniment petites au moyen de translations sur les 

 axes de rotation, translations qui sont proportionnelles a ces 

 rotations. On compose alors des rotations passant par le méme 

 point, en composant les translations correspondantes. Nous 

 allons maintenant prouver que quelque chose de semblable a 

 lieu dans la géométrie de Riemann; Ik, toutefois, l'exposition 

 acquiert une applicabilité générale, méme å des rotations finies. 



Voici la proposition que nous allons démontrer: 



Une rotation de la grandeur 6 est représentée 

 dans l'espace eUiptique par une translation de la 

 gran deur t^ ^ sur l'axe de rotation. 



Alors, des rotations dont les axes passent par le 

 méme point, peuvent étre composées au moyen de 

 l'addition géométrique des translations correspon- 

 dantes. 



On n'a qu'a montrer que si trois rotations se détruisent, 

 il en sera de méme des translations correspondantes. 



Les axes de rotation sont supposés passer par le point O 

 et en couper le plan polaire respectivement en A, B et C. Le 

 triangle polaire de ABC est AiB^Cj. Sur OA, OB et OC, nous 

 prenons respectivement OAo = |a, OBo = \^-, OCo == hy-i «/^r 

 étant les amplitudes correspondant aux rotations effectuées 

 autour de OA, OB et OC. Or, les rotations a, /9, 7- étant 

 effectuées dans l'ordre nommé, doivent se détruire, 



Alors on a 



B,C, = U, C,A, = \i3, A,B, = \r- 

 Les points directeurs respectifs de 



B^Ci , CjAj et AiBj sont appelés .4, ^ et C, et sont égale- 

 ment points directeurs respectifs de OA.,, OBo et OC.^ 



(n« 16, 3»l. 



Les angles du A ABC sont appelés J, B et C. 



On a alors A = \a^ ^ = Ap', C = \y. 

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