324 Johannes Petersen. 



Mais cela prouve précisément que les translations OAj , OB2 

 et OC2 se détruisent. 



Transition de l'exposition précédente de I'espace elliplique a 



I'exposition faite analytiquement a l'aide d'une surface 



fondamentale. 



18. Choisissons dans I'espace considéré quatre points JC, 

 Y, Z ei C/, ayant deux a deux 90^ pour distance. Alors un 

 autre point arbitraire A peut étre représenté par les coordonnées 



a = [XA), /? = (YA), r = i^^U ^ = (^^)- 

 Celles-la doivent satisfaire å la relation: 



cos'^ a -\- cos- /9 -|- cos- y -|- cos^ ^ = 1 , 

 ce qu'on prouve en projetant ^1 en ^, sur le plan [XYZ]. 

 {UA coupe [XYZ] en A^). 

 On a alors: 



cos^{XA,]^cos^(YA,)^ cos'' (ZA^) = 1, 



d'oii sin2J(cos2(X^i) + cos2(F^i)4-cos2(Z.4i)) = sin^o", 

 OU cos^a + cos^/9 + cos'^^ == sin- o, 



qu'on écrit cos- a -f cos-/9 + cos^ j- 4- cos^ o = 1. 



A-t-on deux points A et ^j, dont le premier est déter- 

 miné par les coordonnées («, /9, ;', o), l'autre par («i, /9,, ^'j, ^1), 

 on aura la distance de l'un a l'autre déterminée par: 

 cos(^/li) = cosacosai + cos/9cos/?,-f cos;'cos/'i + cos^cost^i. 

 En elfet, si l'on appelle respectivement les droites UA et 

 UAi a et »1, on obtient (au moyen du triangle AUA^): 

 cos (^^1) = cos [UA] cos {UA^} + sin{UA) sin {UA^) cos iaa^). 

 Or, si l'on designe VX, UY et UZ par x, y ei z, on a: 

 cos («« 1 ) = cos {xa) cos (xa 1 ) + cos {ya) cos (ya , ) + cos {za) cos (zui); 

 par conséquent: 



cos(^^i) = cos {CIA) cos {CIA ^)-[- 

 sin ( UA) sin [UA^] {cos{xa] cos {xa 1 ) -f cos {i/a) cos {ya 1 ) + cos (za) cos (za^)) 



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