Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 325 



et, en considérant les triangles 



XAU, XA,U, YAU, YA^U, ZAU, ZA,U, 

 on obtient alors : 



cos(^^i) = cos ( UA) cos ( UAi)-\- cos [XA) cos {XA^) 



+ cos ( yj) cos ( F^ i) + cos (Z^) cos {ZA j ), 

 ce qiru fallait démontrer. 



Maintenant l'espace considéré peut étre figuré par un espace 

 euclidien , en ce qu'a chaque point A («, /9, y, d) de l'espace 

 elliptiqiie nous faisons correspondre un point (æ^ : a;^ :a;.^ :æ^), 

 représenté par des coordonnées homogenes ordinaires de l'espace 

 euclidien, en sorte que 



cos« cos/9 cos;- cosS' 

 Alors la distance AA^, A répondant a 



devient: 



Nous avons done trouvé la determination ordinaire de la 

 distance dans l'espace elliptique, determination qu'on obtient en 

 se servant de la surface fondamentale 



Des lors nous n'avons plus besoin de prouver que nos 

 definitions de distances et d'angles sout d'accord avec les de- 

 finitions connues ')• 



Géométrie des droites dans l'espace hyperbolique. 



19. Quant aux resultats oii nous sommes arrivés par la voie 

 géométrique dans l'espace elliptique, nous pouvons les transferer 



') Voir Klein: Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Géométrie (Math. 

 Ann., Bd. 4). 



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