326 Johannes Petersen. 



immédiatement a la géométrie hyperbolique, ces deux géométries 

 ayant la méme base analytique. La seule difterence consiste 

 en ce que, pour les mensiirations, dans Tune de ces géométries, 

 on se sert d'une surface fondamentale imaginaire, et, dans 

 l'autre , d'une reelle. Aussi les identités analytiques qui ex- 

 priment les propositions de la géométrie elliptique, peuvent- 

 elles servir d'expression a des propositions de la géométrie hyper- 

 bolique. Par conséquent, on peut de méme transferer, et sans 

 aucune preuve nouvelle, dans la géométrie hyperbolique le prin- 

 cipe établi pour la géométrie des droites. 



En parcourant notre manuscrit, M. le D"" C. Juel a im- 

 médiatement entrevu la possibilité de trouver une preuve 

 directe de cette proposition, indépendamment de la maniére 

 dont la géométrie elliptique est réellement présentée dans ce 

 qui précéde. 11 nous a propose de chercher une pareille preuve: 

 nous l'avons ensuite trouvée, et voici comment nous la for- 

 ni uions : 



Nous mesurons distances et angles par le logarithme du 



rapport anharmonique correspondant M , logarithme multiplié 



i 

 par y . 



Nous nous servons de la definition originaire donnée par 

 Cliff ord, d'aprés laquelle deux paralléles non euclidiennes 

 sont deux droites partout équidistantes. 



Or, si nous considérons une droite a et un point arbitraire 

 P, on peut tracer de P une droite unique n coupant å angle 

 droit a en A. n\ polaire absolue de w, coupe a en A'. Si 

 alors nous prenons sur n' A'A^ = PA et A'A., = AP'^) {A^ et 

 A^ étant des points imaginaires conjugués), les droites PA^ et 

 PAo seront paralléles ha (et, ajoutons-le, respectivement de 



Voir Klein: Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Géométrie (Math. 

 Ann., Bd. 4). 



En groupant sur n et n les sens positifs de maniére que le sens de 

 n' corresponde a une rotation a droite pour le sens de n. 



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