Géométrie des droites dans l'espace non euclidien. 327 



la H*^ espéce et de la 2^^), et détermineront imivoquement la 

 droite a. 



Si ensulte nous avons deux droites quelconques a et b qui 

 coupent la surface fondamentale, nous pourrons trouver deux 

 droites p ei q (^j coupant cette surface, tandis que q ne la 

 coupe pas) qui coupent å angle droit a ei b; 2^ coupe respective- 

 ment a et 6 en ^ et en B. el q les coupe respectivement en 

 A^ et en B\ On prend sur q B^A^ = AB Qi B^A,, = BA. 



Les droites joignant A respectivement a A^ et a v4.> sont 

 appelées ^1 et ^^2 ? lesquelles sont les paralléles cliffordiennes 

 a 6, tracées par A. Alors on a 



(ap^) =-- A^A^ = A^B^-^AB 

 et {ap.^ = A^A., = A'B^—AB. 



Or, si Ton fait passer par P, point arbitraire situé dans 

 l'espace, les droites a^ et &,, paralléles respectives de la V^ 

 espéce k a et h b, et a^ et bo, paralléles respectives de la 

 2^ espéce a a et a b, on voit que 



{a^b^) = (ap^) et (rto^J = (ap.,). 



De ces équations il n'y en a que la premiere qui ait besoin 

 d'étre démontrée. Or, cette demonstration reside dans le fait 

 que les plans f«!^,] et [api\ coupent la surface fondamentale 

 suivant deux sections coniques d'oii les paires de droites 

 respectives a^b^ et ap^ découpent des groupes de points qui 

 sont projectifs, les quatre points d"un groupe étant joints aux 

 points correspondants de l'autre au moyen de génératrices de 

 la méme espéce, situées sur la surface fondamentale. 



Par conséquent 



(a^b,) = A'B^^ AB 

 et (a^bo) = A'B'— AB. 



Mais cela sert de preuve au principe précédemment établi 

 pour la géométrie des droites. 



Les deux grandeurs A^B^-\-AB et A^B^ — AB sont 

 imaginaires conjuguées, et 



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