328 Johannes Petersen. 



la géométrie des droites de l'espace hyperbolique 

 est done identique a la géométrie de to u tes les 

 droites (reelles et imaginaires) passant par le méme 

 point. 



Par conséquent, on peut rattacher toute géo- 

 métrie des droites å la géométrie de la paire de 

 points sur une surface sphérique reelle. Dans l'es- 

 pace elliptique, la paire de points eonsiste en des 

 points reels séparés; dans l'espace euclidien, en 

 points reels infiniment peu distants, et dans l'es- 

 pace hyperbolique, en des points imaginaires con- 

 jugués. 



Ce méme principe montre que la géométrie des figures 

 égales dans l'espace (la théorie relative aux mouvements héli- 

 coidaux) peut se rapporter a la géométrie dont l'élément est 

 une paire de figures égales ayant un seul point fixe. Dans la 

 géométrie elliptique, les deux figures sont reelles et séparées. 

 Dans la géométrie euclidienne, elles coincident. Dans la géo- 

 métrie hyperbolique, elles sont imaginaires conjuguées. 



20. Notre principe donne a la géométrie hyperbolique 

 une importance toute particuliére pour la géométrie des ele- 

 ments imaginaires. 



Le systéme de ton tes les droites (tant reelles 

 qu'imaginaires) passant par un point fixe de l'espace 

 euclidien, est représenté par le systéme de droites 

 reelles qui coupent un ellipsoide reel (la surface 

 fondamentale). 



Un faisceau plan de droites complexes est représenté par 

 une congruence linéaire dont les directrices sont des polaires 

 réciproques par rapport a la surface fondamentale. 



Un systéme de droites complexes appartenant au méme 

 faisceau et dont quatre droites arbitraires ont un rapport 



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