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LES PROJECTIONS RÉGULIÈRES Ms POLYTOPES REGULIERS. 



de droite porte une projection et L'autre trois, ni la projection 



plane du cube en hexagone régulier avec le centre compté double, 

 ni la projection plane de l'octaèdre en earn' avec le centre compté 

 double, etc. 



2. Le polytope J„ a été nomine simplexe à cause de sa simpli- 

 cité; seulement quant aux projections régulières le polytope !'>„ esl 

 de beaucoup plus simple. Car nous pouvons affirmer immédiate- 

 ment que les projections de B„ sur toutes ses arêtes, sur toutes 

 ses faces, sur tous ses espaces limitants sont régulières et que B„ 

 n'admet pas d'autres projections régulières. La combinaison des 

 projections sur les n arêtes perpendiculaires entre elles nous 

 rappelle les cartes magiques de notre jeunesse; nous montrons le 

 rapport par l'exemple de l'octaédroïde (fig. 1). En numérotant 

 les sommets des chiffres 0, 1, 2, ... . 15, de manière que les arêtes 

 aboutissant au sommet portent les chiffres 1, 2, 4, 8 et que 

 dans chaque face les couples de chiffres placés aux extrémités des 

 deux diagonales donnent la même somme, on trouve que les 

 chiffres des octuples de points qui dans la projection sur les 

 arêtes (0, 1), (0, 2), (0, 4), (0, 8) par se projettent en 1, 2, 4, 8 sont 



FlG. 1. 



montrant la propriété connue de la 

 devinette en question ; en effet, on 

 retrouve chacun des quinze chiffres 



1,2 15 par l'addition des entêtes 



1, 2, 4, 8 de celles des quatre colon- 

 nes qui le contiennent. 



3. Par rapport aux projections régulières des polytopes A n et C„ 

 nous avons communiqué récemment deux théorèmes généraux 

 à l'Académie des sciences d'Amsterdam; nous en donnerons ici la 

 démonstration. 



