I. Es PROJECTIONS RÉGULIÈRES DES POLYTOPES RÉGULIERS. 203 



A proprement parler le premier de ces théorèmes en contient 

 deux dont l'un se rapporte à A n et l'autre à C„ ; pour éviter les 

 redites ces deux théorèmes, tout à fait égaux quant à la forme et 

 ne différant qu'en quelques nombres qui y entrent, ont été réunis 

 en un seul de la manière suivante: 

 Théorème I. 



„Représentons -, n pour n pair et \ (n + 1) pour n impair par m". 



„Construisons en m plans «,, a it , .. «„ des polygones régvrliers 

 congruents à n + 1 [ou2ri] côtés ; soit g le ray on des cercles circonscrits" . 



„Désignons en cliacun de ces m plans un des sommets du polygone 

 comme sommet-origine et fixons y un sens de parcourir l< contour 

 du pob i g one" . 



„Désignons en chacun de ces plans les autres sommets du polygone 

 par les chiffres 1, 2, 3, . . . . de manière qu'en ce, le chiffre p î/ndique 

 le sommet dont la distance au sommet-origine, mesurée suivant le 

 contour du polygone dans le sens fi. ré, monte à pk [ou p {2k — 1)] 

 côtés du polygone ou bien à pk \ou p {2k — 1)] côtés diminués d'un 

 ou de plusieurs contours entiers. Ainsi le polygone en a k se réduit 



, ,. , »+i r i«i 



quant a ce numérotage à un polygone regulier de ou ~~z~\ 



côtés dont t In [que sommet porte q numéros, si le et n + 1 [ou 2k — 1 et2n~] 

 admet tuit q comme plus grand commun diviseur. Et pour n impair 

 le polygone en «„, se réduit à ce point de vue à un segment de droite 

 d'une longueur 2« portant à l'une de ses extrémités les chiffres pairs 

 0, 2, 4, . . et à l'autre les chiffres impairs 1, 3, 5, . . ." 



„Remplaçons pour n impair le segment de droite que nous venons 

 de mentionner, par un segment de droite de longueur $1/2 portant 

 les mêmes groupes de chiffres". 



„Plaçons les m éléments, exclusive m.e ni des plans pour n pair et 

 m — 1 pin us et un axe pour n impair, dans l'espace E n de telle 

 manière que deny quelconques dt m éléments soient perjiend/icul 

 l'un à l'autre en un même point commun à tous". 



„Les points P p de l'espace E dont les projections sur les m éléments 

 coincident avec les points portant les numéros p, (p = 0,1,2,. .), 



formen/ le.-, sommets d'un jioly In/ie régulier A„ [ou '',.]". 



I.i démonstration de ce théorème double Be base but le calcul 

 • I«-- distancée P /' dea couples de points /'. , /', ■ 9 l'aide de La 

 relation, d'après laquelle le carré de la distance /' /'. esl égal a 

 la somme des carrée des m projections de cette Longueur. Heu- 



