204 i.l s PROJECTIONS RÉGULIÈRK8 DF.s POLYTOPES RÉOULIER8. 



reusement il n'est pas nécessaire de calculer toutes les distances 

 P p /',, . (Jar à cause de l'équivalence des sommets P„, P,, P 2 ,. . . 

 la distance P P +i Pp>+i, OÙ À indique un entier quelconque, est 

 indépendante de k. Doue il suftit de connaître les distances P u l' r , 

 (p = l,2,3,. ..)• 



Faisons coïncider les m plans a k avec un plan quelconque « 

 donné, de manière que les polygones, les sommets-origines et les 

 sens de compter coïncident tout de même, ce qui exige que pour 

 n impair nous nous contentions quant au segment o \y 2 que son 

 point milieu et son rayon du sommet-origine coïncident avec le 

 centre et le rayon des sommets-origines coïncides des polygones. 

 Alors on aperçoit immédiatement que l'ensemble des projections 

 des distances P P p ne diffère pas de l'ensemble des distances du 

 point de coïncidence des sommets-origines que nous appelons Q u 

 aux autres sommets Q t , Q 2 . . de ce polygone de coïncidence, 

 ou bien plus précisément que les projections de P P p sur les plans 

 a lt a 2 , . . . a m sont successivement 



Q Q p , Q Q ip , Q Qmp, pour A n , 



Q bip, Qq bl:\)i , W U(2m-l\p » ^n , 



où la projection sur «,„ exige une réduction pour n impair dans 

 les deux cas. En indiquant provisoirement l'influence de cette 

 réduction par un trait au dessus du terme à réduire et en abré- 

 viant Q Q p -, . . à { 0, p \ 2 , . . . nous trouvons donc 



pour A n . . . P Pp = 



2' J 0, hp | 2 n pair 



i = i 



2' | 0, kp | 2 + J 0, mp p . n impair | 



1) 



[ 2 1 0, (2k— \)p | 2 n pair l 



pour cl... p p; = ; *:; ' 



2 J0, (2k— l)p\ 2 + \0,C2m — l)p\- . -n impair 



A = l 



Ici nous interrompons pour un moment les ordres d'idées, pour 

 déduire d'abord deux lemmes dont l'un nous fournira les moyens 

 de calculer les sommes entrant en 1), tandis que l'autre mettra 

 en plein jour, pourquoi la réduction du pol} T gone dégénéré en 

 segment de droite — énigmatique jusqu'à présent — est absolu- 

 ment nécessaire. 



