L8B PROJECTIONS BBQÜLIÈREB DES POLYTOPES REGULIERS. 205 



4. Pour la déduction des deux lemmes en question nous rap- 

 pelons un théorème général de Schiüfli (voir son œuvre pos- 

 thume, rédigée en 1852, publiée par M. J. H. Graf en 1901: 

 „Theorie der vielfachen Kontinuität", § 35): 



„Si l'on projette les rayons vecteurs centraux M P, des sommets 

 Pi d'un polytope régulier de l'espace E n à n dimensions sur une 

 droite quelconque a de cet espace, 



1° la somme algébrique des projections M' P,' est zéro, et 



2° la somme des carrés de ces projections est — r 2 , r étant 



la longueur commune des rayons vecteurs M P, (rayon de l'espace 

 hypersphérique circonscrit) et s le nombre des sommets du po- 

 lytope." 



Les deux parties de ce théorème sont des conséquences bien 

 simples de la théorie générale du centre de gravité et de celle 

 des moments d'inertie; on les dérive en supposant que les som- 

 mets du polytope portent des masses égales et en appliquant par 

 rapport à l'espace E n ^ x par le centre M normal à l'axe de pro- 

 jection a le théorème des moments de ces masses et des moments 

 d'inertie de ces masses. 



A l'aide de la première partie de ce théorème de Schlüfli on 

 trouve: 



„La somme des carrés des distances des s sommets d'un polytope 

 régulier à un point quelconque A situé à une distance d du centre 

 M équivaut à sir 2 + d 2 ); en particulier la somme des carrés des 

 distances d'un quelconque des sommets aux s — 1 autres est 2 sr 2 ." 



Nous en déduisons le cas particulier suivant d'une proposition 

 connue, siégeant au centre même de nos démonstrations: 



Lemmk 1. „La somme des carrés des distances d'un des s sommets 

 d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon q aux s — 1 

 autres eut 2 s » 2 . 



En appliquant la seconde partie 'lu théorème de Schiäfu, 

 chacun des axes d'un système rectangulaire d'un espace E, com- 

 pris «-n E, figuranl comme axe " de projection, et en ajoutant 



i trouve: 



l'on projette lee rayons vecteurs centraux M I', des som- 

 /' d'un polytope régulier de L'espace /','„ sur un espace 



