206 us PROJECTIONS RÉGUUÈKES DES POLYTOPES i: li.iu Ills. 



E, quelconque de cet E n , la somme des carrés 'les projections 

 M' P{ est ' sr*". 



n 



En particulier, si cette projection est régulière, les projections 

 M' P' deviennent égales entre elles et L'on a: 



„Entre le rayon q,, de l'espace hypersphérique circonscrit à La 

 projection régulière d'un polytope régulier de E„ sur un espace 

 /'.', de cet E n et le rayon r de l'espace hypersphérique circonscrit 



au polytope il existe la relation »,, = r 1/ — ." 



En comparant entre eux les résultats qu'on obtient en posant 

 successivement v = 2 et "=1, on trouve pour s pair: 



Lemme IL „Si les s .sommets d'un polytope régulier de l'espace E n 

 se projettent sur un plan de cet E n dans les sommets d'un polygone 

 régulier inscrit dans un cercle de rayon i> 2 et sur un axe de cet E n 



en denr points, chacun desquels porte les projections de -• sommets 



du polytope, la distance 2(>j de ces deux points est égale à g 2 l/"2." 



Ce lemme montre en effet que la réduction du segment 2 p du 

 théorème général, représentant quant à sa numération un polygone 

 régulier à deux sommets, est indispensable. 



5. Passons maintenant au calcul des sommes qui entrent dans 

 l'équation 1) à l'aide du premier lemme. 



Si » représente le rayon du cercle circonscrit au polygone de 

 coïncidence, le premier lemme s'exprime par l'équation 



'I' |0, &j 2 =2se 2 2) 



A = l 



Séparons maintenant tout à fait les deux parties du théorème I 

 et occupons nous d'abord exclusivement de la partie qui se rap- 

 porte à A n . Alors, le nombre s des sommets étant n -+- 1, nous 

 avons 



1 j0,*|»=2(n+l) ? « (3) 



Nous en déduisons tout de suite la valeur v p de l'expression 

 1 \0,hp\\ 



