LES PROJECTIONS RÉGULIÈRES DES POLYTOPES RÉGULIERS. 207 



où p est un nombre quelconque donné, en supposant — comme 

 par rapport aux contours des polygones dans le théorème I — 

 que le numérotage 0,1,2,... n des sommets du polygone de 

 coïncidence se continue dans le même sens au delà de n, les 

 sommets aux numéros 0,1,2,. . étant tout aussi bien caractérisés 

 par n + 1 , n + 2, n + 3, . . . ou 2n + 2, 2n + 3, 2», 4- 4, . . . etc. 

 Ce qui revient à dire que les numéros hp surpassant n sont à, 

 remplacer par les restes de leur division par n + 1 et qu'ils 

 représentent donc des congruences par rapport au module n +■ 1 

 La détermination de la quantité v p est liée à la théorie des 

 „polygones réguliers d'espèces différentes", la suite des sommets 

 hp pour fc = 0,1,2,... n formant en général celle des sommets 

 consécutifs d'un ^polygone étoile". Ainsi pour n — 4 on trouve 

 pour p pair le pentagone étoile et pour p impair le pentagone 

 ordinaire. Et si (p', p") indique la coïncidence des points j>',p", 

 on trouve dans le cas n=" pour p=l,2, 3, 4 successivement 

 l'octogone ordinaire 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, le carré (0, 8), (2, 10), (4, 12), 

 (6, 14) ou 0, 2, 4, 6 compté double, l'octogone étoile 0, 3, 6, 9, 12, 15, 

 18,21 ou 0,3,6.1,4,7,2,5 et le diamètre (0.8,16,24), (4,12,20,28) 

 ou 0, 4 compté quatre fois. En général, on trouve à l'aide de la 

 relation 3) 



; m ; m l 2(n + 1) y 2 , pour p =\, (mod. w + 1) 1 



' = i f o , ■, j=o „ ^ 



En laissant de côté les cas évidents ^» = (mod. 2n + 1), où 

 tone lee termes de v p disparaissent, on a en effet, comme il a été 

 indiqué dans l'énoncé même du théorème I, que les n + 1 points 

 /y,, (k = 0, 1, . .n) forment: ou les sommets consécutifs d'un poly- 

 gone ordinaire ou étoile à, n+ 1 sommets distincts, — ou Kien les 

 sommets consécutifs d'un polygone ordinaire ou étoile à 



somnv-t- distincts, chacun de ces sommets comptant 7 fois, — ou 



bien le.- extrémités d'un .segment de droite de longueur 2», eharune 



de ces extrémités comptant - ! ' l'ois. Or, dans le premier cas on 

 retombe but L'équation 8). Dans le second cas d'après la meine 

 relation la somme des carrée des distances du point-origine aua 



sommets 'U\ polygone • ' sommets est - c/ .. ; donc on 

 retrouve 7. - " r ' -p 2 — 2(tj ; l)e '• El dans le dernier cas chacun 

 dec tonnet |0, 2p| ï , | ( ), \p\ 1 ,. . dî parait, tandis que ohaoun des 



