208 I.ES PROJECTIONS REGUUÈKES DES POLYTOPES KÉOUI.IKK-S. 



" + 1 termes |0 ;J p| 2 , }(), 3/*| 2 , livre 4» 2 , eu égard à la valeur 



" ! de p. Donc, etc. 



La somme v v jouit de la propriété que chaque couple de termes 

 qui se trouvent à égale distance du premier et du dernier, sont 

 égaux. Car, en invertissant l'ordre des termes on ne change que 

 le sens dans lequel on parcourt le polygone dérivé correspondant 

 à la valeur de p. De plus, dans le cas n pair il n'y a pas de terme 

 milieu, "^- n'étant pas un nombre entier, tandis que pour n 

 impair ce terme se présente et admet la valeur 4« 2 ou zéro, à 

 mesure que p est impair ou pair. Donc la moitié de v p dépourvue 

 du terme milieu peut être déterminée à l'aide de 4) ; sous la 

 restriction que p reste comprise entre et n 4- 1 on trouve pour 

 cette moitié (n — 1) c 2 pour n et p impaires et (n -f- 1) c< 2 dans 

 les autres cas. En introduisant m du théorème général on a donc 



pour n = 2m £ [0, hp\ 2 — {n ■+- l)ç a I 



o ! Vim lâ k(w + l)e 2 po*irj>pair l' >' 

 pour n — 2m — 1 . . . 2. jO, kp\ - = , \ 



fc=i | (n — 1) y 2 pourri impair / 



les sommes indiquées représentant dans tous les cas les sommes 

 dont il est question dans les équations 1), parce qu'en effet on a 

 < p < n 4- 1. Comme l'indiquent ces équations nous avons à 



m— 1 



ajouter à la somme £ |0, lcp\ 2 du casn = 2m — 1 le carré |0, mp| 2 

 fc=i 



de la projection sur l'axe, qui est zéro pour p pair, une des extré- 

 mités du segment réduit à << 1/1T portant à la fois tous les numéros 

 pairs, et qui est (pl^l) 2 =2o 2 pour p impair. Donc on trouve 

 que tous les segments P„ P,, ont la même longueur al^n+l, ce 

 qui prouve le théorème 1 pour le cas A n . Nous remarquons que 

 c'est précisément la réduction de 2 » à <> l^H que subit le poly- 

 gone aplati qui nous tire d'affaire, et que d'ailleurs la valeur 

 Q ï/*ri-i- 1 des arêtes de A n s'accorde avec la proposition-mère dont 

 le second lemme a pris naissance ; le rayon de l'espace hyper- 

 sphérique circonscrit à un A n à unité de longueur d'arête étant 



1/ %7TTj ' on trouve ~~ = 1/ Ji comme il faut. 



6. Occupons-nous de la seconde partie du théorème I qui se 

 rapporte au polytope C„ où les projections planes ont en général 



