LES PROJECTIONS RÉGULIÈRES DES POLYTOPES RÉGULIERS. 209 



'In sommets. Remarquons que dans ce polytope les n axes joignant 

 les couples de sommets opposés ont une longueur \s*ÏÏ, la. longueur 

 des arêtes étant l'unité, et cherchons à démontrer que les 2n 

 points P de la seconde partie du théorème satisfont à ces relations 

 métriques. Considérons à cet effet l'identité bien simple 



» 2»-l n-1 



y 1 0,(2^—1)^1 2= v KM 2 - v |0,2Ap|2. ... 6), 



<■ = i /• = 1 h = i 



où la quantité p est supposée comprise entre zéro et w+ 1, et 

 remplaçons y les deux sommes du second membre par leurs 

 valeurs tirées de 4) par la substitution des systèmes 2n — 1, p 

 et 7i — 1 , 2p au lieu de n, p. En faisant attention au cas parti- 

 culier p = n on trouve pour < p < n ■+■ 1 



" .^ ,~, ,„ (-^c 2 , pour p $ ni 



v |0,(2*-l)p|»= ' y 7). 



'•• = ' en» l , „ p = n) 



I lette somme que nous indiquons par w v jouit tout de même 

 de La propriété que deux termes à égale distance du premier et 

 du dernier sont égaux. Le terme milieu fait défaut pour n pair; 

 il se présente pour n impair et admet la valeur zéro ou 4? 2 à 

 mesure que p est pair ou impair. Donc la moitié de w p dépourvu 

 de terme milieu mène aux relations suivantes: 



n -t.'//, 2' |0,(2&- \)j>\- 



n-'lm-X . £ }0, (2k— i)p\ a 



D'après les équations 1) nous avons à ajouter à la somme 







l |0,(2Jfc— I)/>! 2 du cas n — 2m— 1 le terme réduit |0, (2m— \) p[- 



pour obtenir /'„ I',, 1 , ce terme réduit prenant la valeur zéro ou 

 4» 2 à mesure que p est pair ou Impair, nous trouvons 



P P v - ,, i/n , (p \ n) ; I\ P„ = g i 

 ce qui démontre le théorème. EH iel nou« retrouvons aussi ta relation 



ù 1/ 2 



P n 



A B4 iiiVKs ix. l _'H 



