210 LES PROJECTIONS BEGUL] Kl! Ks DES P0LYT0PE8 REGI MERS. 



7. Passons à l'autre des deux théorèmes généraux, mettant un 

 liait d'union entre les deux polytopes A H , C n ' 



ThÉOR È m E 11. 



„Représentons par E p _i et E p deux espaces perpendiculaires l'un 

 à l'autre, admettant tin point commun, et par E- lp _\ l'espace qu'ils 

 déterminent." 



„Imaginons en 22 p _i un polytope régulier A\ _ x , en E p im polytope 

 régulier C à unité de longueur d'arrtes." 



„Désignons les p sommets de A ^ d'une manière quelconque par 

 les couples de chiffres (0, p), (l,_p -+- 1), . . . (p — 1, 2p — 1), et les 

 2p sommets de C p par les chiffres 0, 1,2, . 2p — 1 distribués de 

 manière que les extrémités des p diagonales portent les couples (0, p), 

 (l,p + l).... (p-l, 2p-l)." 



„Les 2p points P k de l'espace -E^-i dont les projections sur E p _ x 

 et E p coïncident avec les sommets de Ä \ x et C l ' portant les mêmes 

 numéros k, sont les sommets à" un polytope régulier A { } t J^ ' à longueur 

 d'arête 1^2, se projetant sur E p - r suivant deux A p ^\ coïncides en 

 A a \ et sur E„ suivant C {U ." 



La démonstration de ce théorème est de beaucoup plus facile. 

 Si les projections d'un segment de droite P k P t de E ip _i sur E p ^ x 

 et E p sont désignées par P' k P } et P" k P { , on a 



Px^^^pT + K?? 9 ) 



Cette relation montre que toutes les arêtes du nouveau polytope 

 sont égales à l^2~. Car pour k — l = (mod. p) le second membre 

 est + 2, tandis que pour k — l =\= (mod. p) il devient 1 + 1. 

 Donc, etc. 



Le théorème II que nous venons de prouver, nous permet de 

 déduire la seconde partie du théorème I de la première. Nous le 

 démontrons de la manière suivante: 



Supposons qu'en un espace E 2p _i on fixe p — 1 plans a 1 ,a 2 ,... 

 a p _ x et un axe a p rectangulaires entre eux, qu'en des cercles de 

 rayon ? situés dans ces plans on décrive des polygones réguliers à 

 2p sommets, que sur l'axe on fixe un segment « V2 et qu'on 

 numérote les sommets de ces polygones et les extrémités de ce 

 segment d'une manière tout à fait conforme aux prescriptions de 



