LES PROJECTIONS REGULIERES DES POLYTOPES REGULIERS. 



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la première partie du théorème I. Alors l'ensemble de ces projec- 

 tions numérotées détermine un ^^''"en -Ky-i- Séparons les uns 

 des autres les éléments a à indices paire et impaire : soit E p _ x l'espace 

 contenant le groupe a 2 , «,,,... à indice paire et E p l'espace conte- 

 nant le groupe a t , u 3 , . . . à indice impaire. Cela posé, considérons 

 les p points de E p _i dont les projections sur « 2 , «,,,... portent 

 les couples de numéros (0, p), (1, p -+- 1), . . . (p — 1, 2^—1); 

 d'après la première partie du théorème I ces points forment les 

 sommets d'un A^ '" en E p -i. Donc, d'après les équations 9) les '2p 

 points P k de E p dont les projections sur « ]; « 3) ... portent les 

 numéros 0, 1,. .. 2p — l, satisfont aux conditions 



P p; = o i^2 P> {k-l-p); P" k P'I = Qi^p, (Je ■ 

 Donc les points P" sont les sommets d'un C (;,/ ^. 



lïp). 



8. Considérons de plus près quelques cas particuliers des deux 

 théorèmes. 



Pour n = 4 le théorème I donne : 



„Si 



0(X 



deux 



deux 

 dont 

 fions 



en deux cercles de rayon q situés dans les plans coordonnés 

 i X 2 ), 0(X 3 X k ) d'un système rectangulaire on décrit (fig. 2) 



pentagones réguliers (U, 1, 2, 3, 4), (0', Y, 2', 3', 4') [ou (fig. 3) 

 octogones réguliers (0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7), (0', 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7')] 

 l'un est convexe et l'autre étoile, les points P k aux projec- 

 (k, k') forment les sommets d'un simplex e A^ "' [ou d'un 



Fia. 2. 



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