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I . i:s PROJECTIONS B.ÊGUL1ÈRE8 DBS POLYTOPES REGULIERS. 



Ces théorèmes qu'on démontre facilement sans se servir du 



premier lemme, sont connus (voir e.a. la thèse de M. > s . !.. van ' >.-- 

 Utrecht, 1894). 



Nous remarquons que d'après la première partie de ce théorème 

 l'ensemble des arêtes d'un A 4 peut être décomposé en deux pen- 

 tagones „tordus", en désignant comme tordu tout polygone de A' 



Fig. 3. 



Xz 



qui ne se trouve pas en un E n _y Quel est le nombre de ces dé- 

 compositions? Évidemment ce nombre six (comparez la thèse citée) 

 est égal à celui des couples de manières dont on peut placer les unes 

 par rapport aux autres, autour d'une table ronde, cinq personnes, 

 chaque couple contenant deux arrangements où chacun a d'autres 

 voisins, ou — si l'on préfère un sujet plus sérieux — il est lié 

 intimement à un certain double-six de la surface cubique, appelée 



„surface diagonale de Clebsch", à l'équation z % = entre les 



cinq coordonnées surabondantes x k satisfaisant à la condition iden- 



5 



tique £ x k = 0, le double six complétant les quinze droites a;,, + x q = 0, 



k-=\ 



x r + 2 S = 0, x t = aux vingt-sept droites réelles. 



La décomposition du système des arêtes de C,, n'est pas aussi 

 simple ; en effet on trouve quatre contours fermés, deux octogones 

 tordus et deux carrés. Ayant fait le eboix des carrés 0, 2, 4, 6 et 

 1, 3, 5, 7 on trouve quatre couples d'octogones correspondant au 

 schéma 



01234567 



05274163 



07214365 



0:5254761 



05234167 

 01274563 



07254361 



03214765 



