LES PROJECTIONS RÉGULIÈRES DES ruinons RÉGULIERS. 213 



Donc le nombre des décompositions est 24. 



Dans tous les cas où les projections polygonales sont toutes des 

 polygones au nombre maximum de sommets la démonstration du 

 théorème est intuitive. En voici deux cas assez généraux, l'un 

 pour les polytopes A„ , l'autre pour les polytopes G„ : 



„Si '2n -+- 1 est un nombre premier et «,, ce 2 , . . . «„ un système 

 de plans rectangulaires entre eux de l'espace E 2ll , et qu'en des 

 cercles égaux de ces plans a, on décrit des polygones réguliers 

 (],. 2, , . . . 2n + 1,) d'espèces différentes, les In -+- 1 points P, aux 

 projections (i lf i 2 , . . . i„) sont les sommets d'un A. ln régulier de E„". 



„Si en des cercles égaux situés dans les plans a lf a. i ,... « 2 - i 

 rectangulaires entre eux de l'espace E 2 n on décrit des polygones 

 réguliers (1,, 2,... 2p 1 ) à 2" M sommets d'espèces différentes, les 

 2 points P, aux projections (i t , i 2 ,. . . i 2 >- î) forment les sommets 

 d'un C\n de E 2 n." 



Dans le premier des deux cas le nombre des décompositions 

 différentes du système des arêtes (de A 2 „) en n polygones tordus 

 à 2ft-t- 1 sommets s'évalue à (2n — 1)!; dans le second cas les 

 décompositions du système des arêtes (de C„) sont d'un caractère 

 mixte. 



La forme du théorème 1 dont la première partie a été concipiée 

 aoiia L'influence d'une correspondance avec M. W. A Wuthoff 

 à qui nous avions communiqué nos résultats provisoires, nous 

 rappelle vivement la décomposition du mouvement général de 

 l'espace E„ en m composantes, exclusivement des rotations pour 

 n pair, et m 1 rotations accompagnées d'une translation pour n 

 impair. Ce rapport est d'importance pour la théorie des groupes 

 de mouvements anallagmatiques des polytopes réguliers, spéciale- 

 ment quanl à la décomposition île ces groupes dans leurs facteurs 

 Lee plus simples. 



Par une application itérative du théorème II nous trouvons: 



„Un de l eep ' l peu) se projeter sur un système 



déterminé d'espaces E . E ,... E kt E 2 , E t rectangulaires 



entre eux suivant un ' , deua (A, ' coïncides,... 2 7 



I i , oïncidé (oïncidés, 2' ' segments de droite 

 r< ipectivement." 



