LES PROJECTIONS RÉGULIÈRES DES POLYTOPES RÉGULIERS. 215 



les douze points P t de l'espace E 6 par E. it E./ se projetant sur 

 E- it E/ suivant les points (0, 0'), (1, V), . . . (11, 11') forment les 

 sommets d'un C}." 



En effet, on trouve <) i 2 pour la longueur des segments 

 P u P 6 , P { P 7 , . . . . P b P n et ö pour celle des soixante autres seg- 

 ments P k Pi. 



Eu égard à l 'ai-rangement différent des sommets dans les deux 

 icosaèdres on peut se servir tie l'expression „icosaèdres d'espèces 

 différentes". En joignant les sommets du second polyèdre par 

 les arêtes (0', 1'), (0', 2'), ... on obtient en effet le squelette de 

 deux polyèdres étoiles de Poinsot, l'icosaèdre de „septième espèce" 

 et le dodécaèdre de „troisième espèce" (comparez p. e. le Traité 

 de géométrie par Rouché et de Combekousse, septième édition, 

 Géométrie de l'espace, Fig. 501 et 503). 



Le système des soixante arêtes du C G se décompose donc en 

 deux systèmes de trente arêtes se projettant sur un quelconque 

 des deux espaces E. it E./ suivant les arêtes de deux icosaèdres 

 d'espèces différentes, la projection de l'un des systèmes sur l'un 

 des espaces s'accordant en espèce avec la projection de l'autre 

 système sur l'autre espace. En d'autres termes, par rapport à un 

 couple quelconque (a, b) de sommets opposés du C 6 les autres 

 couples de sommets opposés se divisent en deux groupes opposés 

 "'i> e a • • c 5)> ( r A> <^2> • • ^s)' ( ^ e manière que les projections de ac n 

 ac 2 ,..ac 5 et bd lt bd. if . ,bd b sont des arêtes de l'un et les projec- 

 tions de ad t , ad 2 , . .ad b et bc t , bc 2 , . . .bc & des arêtes de l'autre 

 des deux isocaèdres. 



Pour calculer le nombre des décompositions différentes de cette 

 nature nous remarquons que dans chacune des deux projections 

 polyédrales les couples d'extrémités (0, 6), (1, 7), . . . (5, 11) des six 

 diagonales centrales sont entrelacés d'une manière différente, et 

 que chaque décomposition est caractérisée par la manière dont un 

 sommets, p. e. Le sommel 0, est lié aux cin<| autres diagonales 

 centrales. Donc Le nombre de ces décompositions est 2 r '=32. 



