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quarante points de ramification qui correspondent aux points 

 doubles, elle doit être une courbe du vingtième degré. Par consé- 

 quent, ./., possède cinq tangentes doubles. Soienl Z, et Z 2 les 

 points qui forment un groupe de (X),, avec Les deux points situés 



en J); soient de plus C t et ('., les intersections de .Y' avec DZ\ 

 el l>Z 2 . Il est clair que <\ et C7 2 forment avec les deux points 

 situés en l> un quaterne de iJi., : par consequent, la droite <\ Z t 

 remplace deux tangentes menées à /, ; par C, et deux tangentes 

 issues de Z x . Cela veut dire que les droites <\ Z, et <'., Z, sont 

 deux bitangentes de ./,.,. 



Il y a donc trois bitangentes dont chacune porte deux couples 

 communs aux involutions corrésiduelles. 



En général, deux involutions de quaternes ont en commun six 

 couples. En eilet, l'une d'elles peut être définie par un faisceau 

 de coniques dont deux points de base coïncident en D, de sorte 

 que toutes les coniques se touchent en D. En prenant pour points 

 fondamentaux d'une transformation quadratique le point D et les 

 autres points de base, on obtient sur la courbe transformée (qui 

 est encore une quartique à point nodal D) deux involutions de 

 quaternes dont l'une est marquée par les rayons d'un faisceau; 

 or, par le centre du faisceau on peut mener six tangentes. 



De la même manière on démontre qu'une involution de quaternes 

 a quatre couples en commun avec une involution de ternes. 



§ S. Les tangentes de la courbe de direction, J,., se rangent 

 en les couples d'une involution, dans laquelle la droite X^Xi est 

 conjuguée à la droite X m X n . Sur une droite / quelconque, ces 

 couples marquent une correspondance (6, 6), où chaque point P 

 est associé aux intersections P' des tangentes qui sont conjuguées 

 aux six tangentes issues de P. Si P vient à coïncider avec un 

 des points P', il n'y a plus que quatre points P' qui difièrent de 

 P, de sorte que les coïncidences de la correspondance sont réunies 

 deux à deux en une intersection S d'un couple de tangentes. Donc 

 le lieu de S (la courbe de direction de ['involution de couples) 

 est une courbe du sixième degré, S 6 . 



Si X-, coïncide avec X x le point S^ (X 1 X 2 , X, A".,) se confond 

 avec A,. Donc, les points doubles des deux involutions corrési- 

 duelles sont des intersections de A" 1 et S 1 '. Il en suit que la courbe S 6 

 :\ un point double en D; on le vérifie en observant que le point 

 nodal de N k est l'intersection de deux tangentes doubles de ./,,. 



