266 I. A 'H AIMKJLK NODALE. 



Réciproquement, deux tels systèmes engendrent une quartique 

 qui a un noeud dans le centre du faisceau. 



Prenons pour sommets du triangle de référence le point nodal 

 D et ses points tangentiels T et T'. 



Alors la quartique N k sera représentée par L'équation 



(Vl +3(t 2|-'v^ + 3a !2 X . 4 +<'...•'■ !K + ( b X> X l +2b U X l X 2 +b OZ X liï X l X i 



+ c x t x., x 3 = 0. 



Soient P, Q et R trois formes quadratiques ternaires. 

 Supposons que iV 4 puisse être engendrée par les systèmes 



x, = q x 2 et P + 2» Q + g 2 R = 0. 



La conique P = doit avoir en commun avec ./;, = les points 

 D et T. Donc, la forme P ne peut contenir les termes x~ et x" . D'une 

 manière analogue, R ne contient pas les termes x" et x„ . 



Si l'on pose 



P = p n x x + 2p ia x, x, + 2p 13 x { x. 3 + 2p a x 2 x., , 



2 Q = </ n x~ -t- 7 .,., x 2 -+- 'y .... » 3 + 2q V2 x 1 x, + 2q v , x x x., + 2g 2 . x , a; . 

 R = r w x', + 2r 12 x 1 x n -+- 2r Vi a; a; -+- 2^ x., x 3 , 



on arrive aux relations suivantes : 



2r 13 = ago , Çn + 2r 12 — b w , 



2r 23 + 2o 13 = 3a,! , p„ + 2q 12 + r,, = ïb v: , 



2p 13 + 2a 23 = 3ai. : , q. yi + 2r 12 = b<% , 



2ps8 = «03 , Î33 = C. 



11 en résulte que les coefficients p 23 , qas et r 13 sont connus; les 

 onze coefficients restants doivent satisfaire à cinq équations liné- 

 aires. Puisque six d'entre eux peuvent être arbitrairement choisis, 

 la génération de N' 4 au moyen d'un faisceau de droites et d'un système 

 de coniques à inde.r deur peut se faire de oc 6 manières. 



On peut encore observer que les formes P et R sont tout-à-fait 

 arbitraires, à l'exception des coefficients p 2) et r 13 . 



Si, par exemple, on annulle les autres coefficients de P et R, on 

 obtient le système de coniques défini par 



",. , ',. ■'';; -i- Q (b 20 x\ + o „ -ri + cx~ + 26 12 x, x., -I- 3a 21 x t x 3 -t- 3a 12 x 2 x 3 ) 

 + q 2 a m x 1 x s = 0. 



