r,A QUARTIQUF. NODALE. 269 



Par conséquent, la quartique peut encore être engendrée par 

 les systèmes homographiques définis par 



x x = Ax 2 et P + 2 ).Q + ).- R = 0. 



L'enveloppe du système de coniques touche A "' en huit points 

 qui forment la base d'un faisceau de quartiques. 

 < )n peut le vérifier par la relation 



R (P/, + 2Qx } x., + Rfy = (PB — Q 2 ) x\ + (Qx 2 + Bx x y. 



§ 19. En prenant pour sommets du triangle de référence le 

 point nodal et les points de contact de deux tangentes issues du 

 point nodal, on peut définir la quartique par l'équation 



{c^x\+(rßi)x%2x x x^b n x\^ 



En l'écrivant dans la forme 



(a ] Xj x. A ± a„ x,, x.) 2 + 2a?., x % (b 1 + a x a„ x s ) = 0, 



on voit que la quartique est l'enveloppe de chacun des systèmes 

 de coniques représentés par 



(1, + ,i, a , x 3 ) + 2À (a l .t { :,-., ± a, «, x 3 ) — 2À 2 x x x 2 = 0. 



Ce sont les deux systèmes de coniques quadritangentes aux 

 quelles appartient le couple de tangentes a;, =0, x 2 = (§ 9). 

 Parce que la conique 



a, Xj x 3 ± a, x 2 x- s = 



contient deux quaternes de l'involution fondamentale formée par 

 les points de contact des coniques quadritangentes, les groupes 

 de ['involution peuvent être déterminés par le faisceau de coniques 



a, x t x 3 ± a , x 3 2A .'■, .'., =0. 



Or le vérifie en observant que l'équation de la quartique admel 

 la forme 



(a i z, X] ' ■/.)•-+ 2x t x , )d> | a a . x ) + 



+ 2/. (a , .' , .'• a . x x i — '.'-'' ./-, a;, j = 0. 



Lee 'l'ii . faisceau! de conique -oui caractérisés par la pro- 

 priété 'I avoir une tangente fixe, 



