270 I,A QUARTIQUK NODALE 



a, x x ± a., x 2 = 0, 

 au point nodal. 



§ 20. En posant /. = 0, on trouve les coniques quadritangentes 



h' — a a, x. = (> et & + a, a„ x. = 0. 

 Elles forment une quartique composée définie par l'équation 

 B' — a^ a' x s = 0, 



où B signifie la forme ternaire b . 



Cette quartique composée est évidemment l'enveloppe du sys- 

 tème de coniques défini par 



a\ x\ -+- 2 À B + A 2 a 2 je 2 . == 0. 



Il est visible que ce système peut engendrer la quartique 

 nodale 



{a\ x\ + ai xr) xi + c lx x x_ 2 5 = 0, 



s'il se combine avec le faisceau 



x , = À a; 2 . 



Par conséquent, les deux quaternes de [»oints de contact îles 

 coniques 



B ± a a., x~ = 



forment avec le point nodal la base d'un faisceau de cubiques 



(§ m 



En effet, de l'équation de N'', 



(a~[ x 1 xi + Bx.,) x 1 + (</,.'-, x +• I',x { ) x 2 = 0, 



on déduit que la courbe est le lieu des intersections des couples 

 homologues des faisceaux 



( Bx ï + ai x„ x 2 ) -+- A (B.c., + a 2 se, a; 2 ) = 0, 



x, = Xx.,. 



Or, on peut démontrer la proposition générale: 

 Chaque quaterne d'une involution fondamentale forme avec chaque 

 quaterne de V involution associée et avec le point nodal la base d'un 

 faisceau de cubiques qui projette l'involution quadratique fondamentale. 

 Considérons les coniques 



