T,A QUARTIQUE NODALE. 271 



{P> — a, a 2 x') + 2 k («j .»■, k 3 + a 2 a; 2 x 3 ) — 2 X 2 cc 1 a; 2 = 0, 



(B + a i a 2 x:) + 2.« (a t x x x 2 — a 2 x 2 x. s ) — 2 ,« 2 x t x 2 = 0. 



Elles forment une quartique composée dont l'équation peut se 

 transformer en 



j B --(A. 2 -+- ,« 2 ) x x x 2 + (À + ,«) ttj »j x 3 + (k — ,«) a 2 a; 2 a; 3 i 2 — 

 \a l x i — (k + u) x 2 i 2 j a 2 ,«3 — (À — /<) a;, | 2 =0. 



Il en résulte que les deux coniques constituent l'enveloppe du 

 système 



} a, x 3 — (k + a) x 2 j 2 + 2 ? j B — (k 2 + n 2 )x 1 x 2 + (k + /<) a t x, x 3 

 + (k — ,«) a 2 x 2 x 3 j + Q 2 ja, x 3 — (k — /<) a;, J 2 = 0. 



En combinant cette équation avec 



X 2 =QZ i , 



on trouve, après quelques réductions, l'équation 



(ttj x\ + a 2 , x'i) x\+ 2 B.r x x, = 0. 



Or, c'est l'équation de la quartique nodale. 



Par conséquent, les points de contact des deux coniques qua- 

 dritangentcs forment, avec le point nodal, la base d'un faisceau 

 cubique. 



Si l'on représente, pour abréger, le système de coniques par 



U + 2e V + <> 2 W = o, 



la quartique nodale sera définie par 



TJx\ + 2 Vx t x 2 + Wx\ — 0, 

 OU bien par 



/, (Ux t + Vx 2 ) + x 2 (Vx, + Wx 2 ) = 0. 

 Il est clair qu'elle peut être engendrée par les faisceaux 

 ( Vx t + Wx 2 ) + « (Ux t + Vx 2 ( = 0, 



X ! — 



Donc, Le faisceau cubique admel L'équation 



/; | a 2) ■ ■ > + 'i (J -■>.'■ <■ t- (A — i') ",:'•, a\,x :1 ( + 



/.' afa x -i » ' ■■''! — a, (k + /< I - '• •'' +(/■ — ")<i ' 8 «2*81 = ^- 

 Aia in vi. s ix. 36 



