272 l-A QUARTIQUE NODALE. 



§ 21. L'enveloppe d'un système de coniques, à index deux, 

 peut dégénérer en quatre droites; alors Les coniques forment un 



faisceau tangentiel. 



En prenant pour axes du triangle de référence les diagonales 

 du quadrilatère complet formé par lès tangentes fixes du faisceau, 

 on trouve pour l'enveloppe «lu système de coniques l'équation 



(xj + x 2 + x % ) (œ, — % % ■+- x 3 ) («j + x 2 — a;.,) (a; 2 +x i — a;,) = 0, 



ou bien 



/ 2 . 2 2,2 A 2 2 ,, 



(a;, -f- x 2 — x. A ) — 4a;, a;, = 0. 

 Donc, le faisceau tangentiel est défini par l'équation 

 x^ + l (.Tj + xi — aô 4- k' x\ = 0. 



Posons 



J. = a, a;, + a 2 a: 2 + a 3 x 3 



_B = &, x x + b 2 x 2 + //., a; :i . 



Il est visible que le faisceau 



A = XB 



détermine avec le faisceau tangentiel de coniques une quartique 

 nodale, définie par l'équation 



A" x\-\- AB [x\ + xi — xi) + B' x\ = 0. 



Les droites ^4 = et B = Q sont deux des tangentes issues du 

 point nodal ; leurs points de contact sont situés sur deux côtés 

 du triangle diagonal. En effet, en substituant ^4=0 dans cette 

 équation, on obtient x\ = 0. De même, B — donne xi = 0. 



On peut mettre l'équation de la courbe dans la forme 



(A + B) {A xi + B xi) =ABx\. 



Alors, il est clair que A + B = représente une troisième 

 tangente, issue du point nodal; son point de contact se trouve 

 sur x 3 = 0. 



Les quatre droites fixes sont des bitangentes de la quartique. 



On le vérifie en substituant dans l'équation de la courbe 

 x 3 = ± (a;, ± a;,); il vient 



(Ax 2 t£ï,) ! =0. 



