LA QUARTIQUE NODALE. 273 



La conique 



Ax 2 - Bx t = 

 passe par les points de contact des bitangentes 



:C, -H x 2 + X., = et uq -h £ 2 — «3 = Ü, 



et par les points de contact des tangentes A = et B = 0. On 

 le vérifie en mettant l'équation de la courbe dans la forme 



{Ax 2 - Bx t ) 2 + AB (aq + x, + x 3 ) (x 1 H- a; 2 — x 3 ) = 0. 



Il est clair qu'il y a encore cinq coniques ayant la même 

 propriété. 



Quartique à point de rebroussement. 



§ 22. Les propriétés de la quartique nodale qui sont en relation 

 avec la conique fondamentale, ne se modifient pas, si le noeud 

 se change en un point de rebroussement. 



Puisque les tangentes du noeud coïncident, les points fonda- 

 mentaux et 0' sont situés sur la tangenteen le point tangentiel 

 T du point de rebroussement. 



Une transformation quadratique dont les points fondamentaux 

 sont situés sur la quartique à rebroussement R', change cette 

 courbe en une quintique R b , douée de trois points doubles et un 

 point de rebroussement; c'est une courbe de la onzième classe. 



Parce que les coniques par les points fondamentaux et un point 

 quelconque de R' se transforment en les droites d'un faisceau 

 dont le centre se trouve sur R 5 , une involution de quaternes dé- 

 fini'- sur R k par un faisceau de coniques, a neuf points doubles. 



Il en résulte que le lieu S 6 des points (A r , X it X i X k ) a un re- 

 broussemenl en D, où il a encore la même tangente que //' ; en 

 effet, à l'exception de D, les deux courbes n'ont- en commun que 

 Lee dix-huit coïncidences des deux involutions corrésiduelles. 



Par rapport au triangle de référence formé par deux tan- 

 de D e1 leur corde de contact, La courbe R* a 

 l'équation 



b y -hl'.x, +-26,,*, ■'". + -/',;•'<•, •'•; +*26 ;•'•..<•,)=<>• 

 On L'obtienl en posant, dans L'équation du § 19, ", ="•, =1 

 • I b u = -l. 



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