554 SUB QUELQUES COMPLEXES IIKCTIMGNES DD TROISIÈME DEGRÉ. 



I. 



§ 2. Soit donné, dans an plan ■•, un faisceau de droites s avant 

 en commun le point S; soit, de plus, donné un système de droi- 

 tes t, à index deux, situé dans un plan r. Supposons que les 

 systèmes (s) en \_t] se correspondent homographiquement. 



Considérons la congruence linéaire ayant pour directrices deux 

 droites homologues s et t. L'ensemble des go 1 congruences défi- 

 nies par les couples (s, t) constitue un complexe 



Démontrons que c'est un complexe du troisième degré. 



D'un point P comme centre, les systèmes (s) et [t\ sont res- 

 pectivement projetés par un faisceau de plans P (s) et un système 

 de plans P [t] à index deux. Un plan quelconque mené par PS 

 contient une droite du cône engendré par les systèmes homo- 

 graphiques P (s) et P [t]. Cependant il y a deux positions du 

 plan mobile P (s) pour lesquelles cette droite d'intersection se 

 confond avec la droite PS: ce sont les plans qui correspondent aux 

 deux plans P [t] qu'on peut mener par PS. Donc, la droite PS 

 est arête double du cône (P). 



Les cônes du complexe sont rationnels et du troisième degré. 



D'une manière toute semblable, on démontrerait que les courbes 

 du complexe sont de la troisième classe et possèdent une tangente 

 double qui se confond avec la trace du plan <r sur le plan de la 

 courbe du complexe. 



§ 3. Les systèmes (s) et [<] définissent sur l'intersection des 

 plans a et r deux ponctuelles en correspondance (1, 2). La droite 

 (iî r) contient donc trois points d'intersection C k de couples ho- 

 mologues (s, t). Toute droite menée par un tel point appartient 

 au complexe. De même toute droite passant par le sommet S du 

 faisceau (.s) fait partie du complexe; toutefois, une telle droite est 

 rencontrée par deux droites t, de sorte qu'elle appartient deux 

 fois au complexe. 



Le complexe possède trois points principaux simples et un point 

 principal double. 



Toute droite du plan a s'appuie sur deux droites t et sur les 

 rayons homologues s; elle fait donc deux fois partie du complexe. 

 Toute droite du plan r est rayon simple du complexe. 



Si deux droites homologues s et t se coupent, toute droite de 



