556 SUB QÜELaUES COMPLEXES ftECTIIJGNES D€ ntOISIEM] DEGRÉ 



rencontre Le cône suivanl L'intersection de ce plan avec Le plan 



a, (//,.<',- y,»J + '>, (;'/..-'-i— .'/, x k ) + b 2 «//,•'", ~'.i-i-'\) + 



+ h 3 (y i x 3 —y 3 x i )] + X 2 a 2 (y i x 2 -y. 1 x i ) = 0. ... (5) 



On en déduit de nouveau que la droite 



*i -yi =*2 =3/2 =*3 : 2/ ;i ( 6 ) 



est une arête double du cône cubique. 



En .exprimant que le plan (5) passe par la droite double (6), 

 on trouve que les paramètres des plans qui touchent le cône sui- 

 vant cette arête, vérifient la relation 



«i Vi +M&i V\ +h -iVï +^2/=) + * 2 "2 n 2 =°- 



Ces deux plans tangents doivent coïncider, si les coordonnées 

 du sommet satisfont à l'équation 



4a t a 2 y y y 2 = (6, y { + b 2 y 2 + 6 3 y 3 )*, 



qui définit la conique r, enveloppée par les droites {. 



Le cône qui projette l'enveloppe r 2 du sommet du faisceau (s), est 

 le lieu des points dont le cône du complexe a une arête de rebrous- 

 sement. 



Du reste, on peut vérifier cette propriété de la manière suivante. 

 Les plans tangents du cône, qui se rencontrent suivant l'arête 

 double d, passent par les rayons s correspondant aux droites t 

 qui s'appuient sur d. Donc, ces plans coïncideront si d rencontre 

 le plan r en un point de l'enveloppe r 2 du système [<]. 



§ 6. Il va sans dire que le cône du complexe doit dégénérer 

 si son sommet P est situé dans un plan principal. 



En substituant, par exemple, dans (3), y 3 = 0, on trouve que 

 le cône dégénère en un plan (p et le plan double x 3 — 0. Evi- 

 demment, le plan cp est déterminé par la droite t qui correspond 

 à la droite PS. 



Si P est situé dans Le plan r, son cône se compose du plan 

 principal r et des plans menés par les droites s correspondant 

 aux droites t qui se croisent en P. 



Si P appartient à un des plans principaux restants, le cône se 

 décompose en ce plan et un cône quadratique. Alors le plan prin- 

 cipal correspond à lui-même dans la homographie des systèmes 

 de plans En posant, par exemple, dans (3), t/, =0, on trouve 



