558 SI II QUELQUES COMPLEXES RECTIL1GNE8 1)1 TROISIEME DEGRE. 



(centre d'un faisceau) C et une conique y 2 , la courbe (nr) se com- 

 pose de la conique y- et »les tangentes de y 2 issues du point ft 

 < Via arrive si le plan ji contient un point principal C k ou un 

 rayon t. 



Finalement, si la conique y 2 se réduit à un point double, la 

 courbe (,7) est représentée par la droite quadruple qui les unit au 

 point C. Ce cas se présente si le plan n passe par le point prin- 

 cipal double. 



§ 8. Les droites du complexe qui s'appuient sur une droite fixe /, 

 enveloppent une surface l ; cette surface se compose des courbes 

 du complexe situées dans les plans À passant par l; de plus, elle 

 est l'enveloppe des cônes du complexe dont les sommets L se 

 trouvent sur l. 



Par l on peut mener quatre plans tangents au cône (L); donc, 

 L appartient à quatre courbes (l), de sorte que l est une droite 

 quadruple de /. Puisque la courbe du complexe est du quatrième 

 degré, la surface A sera du huitième degré. 



La droite (Ait) est la bitangente de la courbe (À) ; ses points de 

 contact R 1 et R 2 sont déterminés par les rayons s correspondant 

 aux rayons t qui rencontrent la trace (à<t) du plan À. Le lieu des 

 points R est engendré par les faisceaux de droites dont les centres 

 se trouvent en S et en la trace L„ de l; à toute droite s il ne 

 correspond qu'une droite (Ait), tandis que toute droite (À<i) définit 

 deux rayons s. Par suite, le lieu (R) est une cubique rationnelle, 

 à point double S, qui passe par L, 7 . 



La surface A est touchée par le plan aux points de la 

 courbe (R). Elle coupe suivant les traces des plans À qui passent 

 par les intersections de <r et r 2 ; en effet, dans ces plans, la courbe 

 (À) a la droite (À<>) pour tangente d'inflexion. 



Le plan r touche la surface A aux points d'une cubique ration- 

 nelle qui a un noeud dans la trace L, de l. On le vérifie, en 

 observant que la courbe (À) touche la trace (Àr) en un point 

 Q du rayon t dont le rayon homologue s passe par le point (W). 

 Or, si t t en t 2 se croisent en L t , les rayons homologues s, et s 2 

 déterminent deux plans pour lesquels le point Q se confond avec L,. 



La surface A coupe le plan r suivant la conique t 2 . En effet, 

 une intersection de r 2 avec un plan / appartient à la courbe (À), 

 puisque deux des tangentes issues de ce point doivent coïncider. 



