SUR QUELQUES COMPLEXES R.BCTILTGNRS DU TROISIÈME DEGRÉ. 559 



Dans les plans qui unissent la droite l aux trois points princi- 

 paux C k et aux deux droites t qui s'appuient sur l, la courbe (À) 

 se compose de deux droites et d'une conique. 



Le plan (IS) touche A suivant une droite torsale quadruple. 



Nous venons de voir que la surface -/ contient encore douze 

 droites simples. 



II. 



§ 9. Supposons que les droites a d'un faisceau (A, a) soient en 

 correspondance homographique avec les couples b lt b 2 d'un faisceau 

 (B,,->) 2 de droites en involution. Examinons le complexe des 

 droites qui s'appuient sur les couples homologues a, b. 



D'un point P le faisceau est coniquement projeté en un faisceau 

 (.]./) du plan /■}. Les systèmes homographiques {A',ß) et(B,ß) 2 

 engendrent visiblement une cubique à point double B, passant 

 par A'. Les rayons 6, et b 2 qui correspondent à la droite A'B, 

 sont les tangentes au point double. 



Le cône du complexe est du troisième degré et de la quatrième 

 classe; l'arête double passe par le point B. 



Si le rayon a vl correspond à un rayon double 6, L > de l'involution 

 {B,J) 2 , et que le point P est situé dans le plan (Ba 12 ), le cône (/') 

 aura pour arête de rebroussement la droite PB. 



Le lieu des sommets des cônes du complexe doués d'une arrte de 

 rebroussement, se compose de deux plans passant par la droite AB. 



§ 10. Il y a trois couples de droites a k ,b k qui se coupent; leurs 

 intersections C k sont les coincidences des ponctuelles en corres- 

 pondance (l,2j que les systèmes (a) et (b) 2 déterminent sur la 

 droite ipefl). Ils définissent trois plans iiriwijtaux y k = (a k b k ); en 

 effet toute droite de y t appartient au complexe. Il est visible que 

 Le '-'''in- d'un point de ; -<• compose du plan ;•- et d'un cone du 

 second degré pnaennl par PB 



I' .--t situé bui la. droite d'intersection Al: des plans ;• , Le 

 cou'- il' ->■ compose évidemment de ces trois plans 



Il eel clair que « e I au n un plan principal. Le cône d'un de 

 . génère en trois plans: Le plan a el Les plans définis 

 par Lee droites b qui correspondent au rayon /' l 



Finalement, le plan ft sel un plan principal double, parce que 

 toute droite de ft rencontre deux couples (a,b). Il en suit que Le 



