SUR QUELQUES COMPLEXES Kl'.iTI LIGNES Dû TROISIÈME DEGRÉ. 563 



Dans le plan ). qui unit l au point principal A, les droites du 

 complexe se rangent en trois faisceaux dont les centres coïncident 

 avec le point A et les points B t ,B 2 où À est rencontré par les 

 droites b,, b 2 homologues du rayon («/.). On en déduit que le 

 plan (l A) touche A suivant la droite torsale B x B 2 , tandis qu'il 

 coupe la surface suivant les droites AB X et AB 2 . 



Les droites du complexe situées dans le plan (l B) se rangent 

 en un faisceau double à centre B et un faisceau simple dont le 

 centre est déterminé par le rayon a homologue du rayon (ßk). Par 

 suite, le plan (IB) touche I suivant une droite torsale quadruple. 



En résumé, la surface -/ possède une droite quadruple, une 

 droite torsale quadruple, une droite torsale ordinaire et douze 

 droites simples. 



III. 



§ 14. Soient A et B deux points sur la droite commune aux 

 plans u et ft. Considérons deux involutions de droites (A, a) , et 

 (B, ?) 2 liées par une relation homographique, de manière que le 

 couple qui contient le rayon a l} = AB correspond au couple défini 

 par le rayon h^^BA. 



Les transversales des rayons homologues appar tiennent à un com- 

 plexe du troisième degré. 



En effet, soit (P,n) un faisceau quelconque. Toute droite p de 

 (••■ faisceau est rencontrée par un rayon a du faisceau involutif 

 >.. Soient p' et p" les droites de (P,.t) qui s'appuient sur le 

 couple 'le droites b homologues à a. Les droites p en p' se corres- 

 pondent en une (2,2). Parmi les quatre coïncidences de ce système 

 se trouve la droite /< qui rencontre la jonction des points A el />'. 

 Il y a donc trois rayon a p qui s'appuienl 3ur deus rayons homo- 

 </,/-: il . -si clair qu'ils appartiennent au complexe. 



Le cône du complexe qui ■■< pour sommet le point P, est 

 ndré par deux faisceau* de plans involutifs liés par une 

 relation homographique, de sorte que !<• plan PAB correspond 

 à lui-même. Par suite, le cône (P) eal du troisième degré et du 

 genre un. D'une propriété bien connue de la cubique plane, il 

 résulte 'pie le- plan- tangente du cône (/') qui le louchent suivant. 

 les droit. /' I et /'/■' coupenl en une droite de | P), 



Il est évident qui 1,/-' onl des i">ini.-. principaux simpli 

 principaux -impies. 



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