566 SUR QUELQUES COMPLEXES RECTILIGNES DU TKOISIÈMl DEGRÉ. 



IV. 



§ 17. Soient .1 el B les centres de deux involutions cubiques 

 de droites, liées par une relation homographique, de manière que 

 la rayon triple .l//.de l'invólution (A,a) 3 correspond au rayon 

 triple BA de l'invólution (B,ß) 3 . 



Les transversales des couples de rayons homologues a,l>, forment 

 h h complexe du troisième degré 



Pour le vérifier, prenons un tétraèdre de référence 0, 2 : . O k 

 dont les sommets 0, et (J 2 coïncident avec A et B, tandis que 

 Q 3 et O k sont situés dans les plans ß et «. 



Alors les deux involutions peuvent être représentées par les 

 équations 



x, = , ax. + À (ax". + a, x„x. + a,x,x] + a.,x') = : 



J ' 4 N u 'J 1 Z 4 z s 4 .» 4' 



x 4 = , te!' + ;. (& a£ -+- 6 3 ./•' | ! :c. + b 2 x l xl + b.,x^) = . 



Il en résulte que les transversales des couples homologues 

 vérifient les relations 



ML + l i\Pu + 6 i2»iPsi + hPuPli + & »2&) = U - 

 En éliminant À et en rejetant le facteur p\\, on trouve que le 

 complexe des transversales est défini par l'équation cubique 



a Q>oPu +& iÄPs4 + \PuPÏ + 6 8 rfi> + 



+ b (a u pl, + a^p^ + o a p a pi + a g ^) =0. 



Soient A' et 5' les traces des droites PA et PB sur un plan 

 quelconque <p. L'intersection du cône (P) avec <p est une cubique, 

 '/ ; , engendrée par deux faisceaux involutifs cubiques, à centres 

 A' et B'. Chacune de ces involutions, qui ont en commun le 

 rayon triple A'B', possède encore deux rayons doubles. Il est 

 clair que le triple de rayons homologues à un tel rayon double, 

 se compose de trois tangentes de <p 3 . Par suite, les deux rayons 

 doubles de L'invólution (A') ou {B') forment la conique polaire du 

 point B' ou A'; les points A', B' sont deux pôles conjugués delà 

 hessienne de (p 3 . ') 



') Dans une petite note insérée au journal „Le matematiche pure ed applicaté" 

 (vol. I, 81) j'ai démontré que toute cubique plane peut être engendrée par deux 

 faisceaux en involution cubique dont les centres coïncident avec deux pôles 

 conjugués de la hessienne. 



