570. SUR QUELQUES COMPLEXES RECTILIGNES DU TROISIÈME; DEGRÉ. 



points G k ) et d'une quinüque II ayanl quatre point;- doubles It, . 



En effet, toute conique menée par les quatre point- B , forme 

 avec la droite aß une cubique decomposable dont les deux noeuds 

 sont situés sur aß. 



Le lieu des arêtes doubles appartenant aux cane* rationnels du 

 complexe, est un cône a du cinquième degré qui passe deux fois par 

 ehaoune des quatre droites AB k et une fois par les trois droites AC k . 



Le cône a contient douze couples d'arêtes qui sont les droites 

 doubles de douze cônes décomposables. Les directrices de ces cônes 

 sont formées par les coniques B k BiB m C n C p et par les droites B q <', . 



Le lieu des points P dont le cône du complexe dégénère en un plan 

 et un cône quadratique, se compose du plan « et de douze arêtes du 

 cône l'. 



Il est clair que le lieu des points P, pour lesquels le cône (P) 

 dégénère en trois plans, est formé par les trois rayons du faisceau 

 (A, a) qui correspondent aux trois coniques décomposables du 

 faisceau (b 2 ). 



§ "23. Les tangentes aux noeuds des cubiques rationnelles appar- 

 tenant à un réseau, enveloppent une courbe Z de la dix-huitième 

 classe; c'est la courbe de Zeuthen. 



Il est clair que cette courbe dégénère pour le réseau spécial des 

 cubiques p 2 . 



En effet, tout point S de la droite aß est un point double d'une 

 cubique decomposable, de sorte que la tangente t en S à la conique 

 b 2 menée par S, appartient à la courbe Z. 



Pour obtenir la classe de l'enveloppe T des tangentes t, on peut 

 chercher le lieu des points de contact des coniques b' 1 avec leurs 

 tangentes issues d'un point 0. Puisque toute droite d menée par 

 0, est touchée par deux coniques b 2 et que l'un des points de 

 contact coïncide avec si rf touche la conique qui passe par 0, 

 ce lieu est une cubique. Ses intersections avec aß définissent trois 

 tangentes t qui se rencontrent en 0. 



Par suite, l'enveloppe T est de la troisième classe. 



Il en résulte que la courbe Z se compose d'une courbe de la 

 troisième classe et d'une courbe Z' de la quinzième classe 



Soit d une droite quelconque. Si l'on fait se correspondre les 

 tangentes / au point double d'une cubique rationnelle du réseau, 

 leur- intersections avec d se rangeront en deux ponctuelles entre 

 Iles il existe une correspondance (15,15). 



