1918 Vol. 46 Septembre 



Sra L'NE INTERPRÉTATION EUCLIDIENNE 



DE LA 



GÉOMÊTlilH: Dl^ RIEiMANN 



A TROIS DIMENSIONS 



ET SUR l-A 



CL^ÉiMATIQL'E DES FIGURES SPHÉRIQUES 



se déplaçant sur leur propre sphère 



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C CAILLE K 



(Avec 3 lig.l 



§ 1. — GÉNÉRALITÉS. 



Tout le monde connaît l'interprétation de la planimétrie de 

 Lobatcliewsky selon Beltrami : chacun sait que cette planimétcie 

 exprime, dans le domaine euclidien, les propriétés des sui-faces 

 à courbure constante négative, telles que la pseudosphère. Bien 

 plus immédiate encore est l'interprétation de la Géométrie rie- 

 mannienno à deux dimensions : faits et formules transcrivent 

 simplement les propriétés classiques de la Géométrie ordinaire 

 sur les surfaces à courbure constante positive, la sphère par 

 exemi)le. 



Quand on passe du plan à l'espace, la réduction des Géométries 

 non euclidiennes à la Géométrie euclidienne est beaucoup moins 

 directe, il faut l'avouer. Pour rester dans le même ordre 

 d'idées qui a réussi à propos du plan, il faudrait se figurer les 

 espaces plats de Lobatchewsky ou de Riemann .^ous l'aspect 

 d'espaces à courbure constante localisés dans l'espace euclidien 

 à 4 dimensions. La méthode reste pareille, mais — inconvénient 



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