120 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



majeur — l'imagination n'y trouve plus son compte, incapable 

 qu'elle est de se reconnaître dans l'espace à 4 dimensions. 



Aussi ne faut-il pas s'étonner si les interprétations eucli- 

 diennes des deux stéréométries construites sur ce modèle sont 

 presque inconnues; pour éviter l'inconvénient dont je viens de 

 pai'ler, il faut en imaginer d'une tout autre nature, et parmi 

 celles-ci je citerai celle qu'a donnée Poincaré, pour la Géométrie 

 de Lobatchewsky, dans Science et hypothèse^ . 



En cet endroit, l'illustre auteur se borne à décrire la corres- 

 pondance des deux espaces, sans indiquer la méthode qui sert à 

 la i-éaliser. Mais l'omission est facile à réparer. 



Une transformation birationnelle, semblable à l'inversion des 

 éléments de la Géométrie, permet de faire correspondre un point 

 de l'espace ordinaire à un autre de l'espace hyperbolique. Tous 

 les points transformés se trouvent d'un seul et même côté d'un 

 certain plan lixe^ Les plans et les droites non euclidiens 

 deviennent des sphères, ou des cercles, les uns et les autres 

 orthogonaux sur le plan fondamental. Et tout théorème, valable 

 pour la Géomét]"ie de Lobatchewsky, en fournit un nouveau, de 

 Géométrie ordinaire, relatif à des systèmes de cercles ou de 

 sphères perpendiculaires à un même plan fixe. 



Il est curieux que Poincaré n'ait rien dit non plus, dans le 

 passage que je viens de rappeler, au sujet de la réduction à 

 l'espace ordinaire de la Stéi'éométrie riemannienne. Peut-être 

 a-t-il pensé que son lecteur n'aurait pas besoin d'aide pour 

 imaginer tout seul la transformation stéréographique qui rem- 

 plit à l'égard de l'espace sphérique le même office que celle dont 

 je viens de parler à propos de l'espace hyperbolique; et, en fait, 

 la première de ces transformations s'offre bien plus immédiate- 

 ment, et a certainement servi de modèle à sa congénère. 



Quoi qu'il en soit, ces représentations des deux stéréométries 

 dans l'espace euclidien sont assez détournées, malgré leur 

 élégance. En ce qui concerne l'e-spaceriemannien, sa planimétrie 

 s'interprète, d'une manière tout élémentaire, sur la sphère, la 

 plus simple des surfaces après le plan. Ce fait même devait 



' Pages 56 et suivantes. 



- Il est loisible de substituer une sphère à ce plan. 



