GKOMKTRIE DE RIEMANN 123 



tives, aux points imaginaires^ do lu splièrc. Ainsi donc, abstrac- 

 tion faite de la réalité des objets, la flèche et le feuillet appa- 

 raissent comme des éléments identiqu(>s: de ce point de vue 

 général, la lamelle spliérique et le corps solide invariable sont 

 deux variétés d'une seule et même chose. 



On comprend par là le rapport étroit qui existe entre les 

 Cinéniatiques de la lamelle sphéri(jue et du solide librement 

 mobile dans l'espace, et l'on s'explique |)ar quel singulier con- 

 cours de circonstances, la même Géométi'ie de Riemann à trois 

 dimensions puisse servii- d'image à l'une et à l'autre. Ce sont 

 des faits d'Algèbre qui servent de support aux géométries non 

 euclidiennes; il n'y a pas lieu d'être surpris si la nature réelle 

 ou complexe des variables ne joue le rôle que d'un détail acci- 

 dentel sans influence sur le fond de la théorie. 



Mais je le répète: je laisse aujourd'hui de côté le cas général 

 du corps solide se déplaçant dans l'espace, et avec lui les quan- 

 tités complexes. Je m'en tiens à la lamelle sphérique mobile sur 

 sa propre sphère: c'est le cas primitif, qu'il faut d'abord bien 

 comprendre. Nous allons essayer de justifier ce qui précède tou- 

 chant la correspondance de la Cinématique qui s'y rattache avec 

 la Gcométi'ie de l'espace E^'; nous emploierons à cet efïet une 

 méthode nouvelle, extrêmement simple, où la part du calcul se 

 trouve considérablement réduite au profit du raisonnement syn- 

 thétique. Cette méthode, mesemble-t-il,estlaplus propre à bien 

 faire saisir la nature du rapport qui existe entre les deux espaces. 



C'est l'essentiel de mon sujet : bien loin d'en épuiser la ma- 

 tière, sur plusieurs points assez fondamentaux je me bornerai à 

 l'effleurer. Dans un second article, j'aurai à revenir sur un cer- 

 tain nombre de questions accessoires qui en dépendent plus ou 

 moins directement. La Cinématique des figures planes nous y 

 occupera notamment; le peu que j'en dirai suffira, je pense, à 

 montrer les profondes dittérences qui séparent ce cas de celui 

 que je traite aujourd'hui, et à faire sentir dans quelle direction 

 les recherches ultérieures auront à s'orienter. 



' Suivant la nature de l'espace E,, l'unité imaginaire aura des pro- 

 priétés différentes. Selon que cet espace est euclidien, hyperbolique, ou 

 elliptique, il faut faire r = 0, r = — 1 . r = 1. 



