124 GKOMÉTRIE DE RIEMANN 



§ 2. — Système de référence et coordonnées. 



Considérons une sphère fixe, et soit à sa surface une figure 

 invariable donnée, polygonale ou curviligne : c'est la lamelle, 

 elle peut se déplacer en prenant une triple infinité de positions. 



La forme de la lamelle est quelconque : sans la changer au- 

 trement qu'en apparence, nous pouvons toujours la réduii-e à 

 une flèche. La flèche est un jjetit vecteur -attaché à l'un des 

 points de la lamelle, dans une direction donnée relativement à 

 celle-ci ; c'est aussi, si on préfère, un arc de grand cercle unis- 

 sant l'origine de la flèche à son extrémité située 90" plus loin. 

 La lamelle étant donnée, il est clair que son remplacement par 

 une flèche est possible d'une triple infinité de manières difïe- 

 rentes, et que deux flèches représentatives de la même lamelle 

 sont toujours solidairement liées l'unp à l'autre. 



Commençons pai- nous demander par le moyen de quelles 

 coordonnées nous pourrons repi'ésenter la position de la lamelle 

 L (ou de la flèche f) mobile à la surface de la sphère. 



Pour définir des coordonnées, il faut d'abord un système de 

 repères fixes, ensuite un moyen d'y rapporter l'élément mobile. 



Constituons le système de repères par le procédé suivant: il 

 y entre deux objets de nature difïérente, il le semble du moins 

 à première vue. 



Le premier de ces objets est un trièdre coordonné S, dont les 

 trois axes OX,, OX.,, OX3, rectangulaires deux à deux, partent 

 du centre de la sphère ; les extrémités de ces axes à la surface 

 de la sphère, X,, X.,, X3 forment un triangle de points conju- 

 gués, triangle qu'on peut, si on préfère, employer en lieu et place 

 du trièdre S. 



Le second élément du système de référence est une lamelle 

 initiale L^, ou flèche initiale f^, placée à volonté sur la sphère. 



Dans la Géométrie riemannienne de l'espace, à l'inverse de ce 

 qui précède, le système de référence est formé d'une manière 

 parfaitement symétrique. On prend, pour remplir cet office, 

 les quatre sommets d"un tétraèdre conjugué, dont les sommets 

 sont deux à deux orthogonaux. Et ainsi les éléments du système 

 de référence, qui sont des points, non seulement sont homogènes 



