126 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



On sait que ce mouvement est caractérisé par 4 paramètres de 

 Rodrigues, e,,. e^, e,, e^ liés ensemble par l'identité 



e^ + ,.=■ 4- ,.' _|_ ^' == 1 . (1) 



' 1 J ' 3 ^ ' 



Ces constantes e^ seront pour nous les coordonnées de la flèche f 

 relativement au système de référence (Sq, f). Leur signification 

 est bien connue, et la voici. 



Soient 2w la grandeur de la rotation qu'il faut faii'e subir à 

 /o pour l'appliquer sur f, et a, , a^, a^ les coordonnées du centre 

 de cette rotation^ par rapport au trièdre S, nous avons 



c^ z= cos M e f^ ^ «^j sin w . (2) 



Au point de vue de la précision de ces formules, il faut remar- 

 quer que la rotation est toujours supposée s'exécuter dans le cas 

 direct, lui-même déterminé par la disposition dextrorsiim ou 

 sinistrorsum du trièdre S. Cette rotation admet une période égale 

 à 2- ; enfin son centre A («i , a^, «3) pourrait être échangé contre 

 le point diamétralement opposé A^ ( — a, , — a,, — «3). De là ré- 

 sulte immédiatement que la flèche f étant donnée, le choix des 

 coordonnées comporte une indétermination quant au signe des 

 4 lettres e correspondantes; deux systèmes opposés tels que 

 + e^ et — e^, {h = 0, 1, 2, 3) caractérisent une seule et même 

 flèche'. 



Prenons maintenant dans l'espace riemannienun tétraèdre T 

 de 4 points conjugués entre eux. Tout point de l'espace possède 

 4 coordonnées, à savoir les cosinus de ses distances aux 4 som- 

 mets du tétraèdre: comme on sait, les 4 cosinus e^ vérifient la 



h 



relation (1), ou Ze' = 1 . 



Il est 'donc loisible de faire correspondre à chaque flèche de 

 notre sphère le point de l'espace E,'' qui possède les mêmes coor- 

 données. Il importe toutefois d'observer que la correspondance 

 dont il s'agit n'est pas biunivoque : en effet, deux systèmes de 

 quantités e^et e ^ déterminent une seule et même flèche, nous 

 le savons, tandis que ces mêmes systèmes définissent dans E^" deux 

 points distincts, diamétralement opposés. 



' On suppose désormais le rayon de la sphère pris pour unité. 

 - Je rappelle que les formules de Rodrigues, d'où dépend la situation rela- 

 tive de deux trièdres fixement liés àfetf^, contiennent les e au second degré. 



