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Il résulte de là que si une tièche unique estassociée à un point 

 donné de E,", réciproquement à une flèche donnée sur la sphère 

 correspond un couple de deux points, toujours placés à 180° l'un 

 de l'autre. Cette circonstance qu'il ne faut pas perdre de vue, 

 ne joue cependant qu'un rôle secondaire; fort souvent on peut, 

 sans faire aucune entorse aux principes de la Géométrie rieman- 

 nienne. traiter comme s'ils ne formaient qu'un point unique, 

 l'ensemble de deux points diamétralement opposés. Cela a lieu 

 notamment quand le point mobile dans E^ décrit une ligne 

 composée de deux parties symétriques par rajjport à l'origine. 

 La seconde partie apparaît comme la l'épétition de la première, 

 et l'une et l'autre se représenteront sur la sphère par une même 

 monosérie de flèches deux fois décrite. Si, par exemple, une 

 flèche décrit une couronne, au premier tour, le point cori'espon- 

 dant trace la moitié d'une droite située dans E,', au second tour 

 l'autre moitié opposée à la première. Et rien n'empêche d'iden- 

 tifier par la pensée les deux parties de la droite qui correspon- 

 dent ainsi à la même monosérie de flèches. 



Mais il ne suffit pas, pour affirmer l'identité de la Géométrie 

 des figures sphériques avec la Géométrie riemannienne, d'avoir 

 établi une correspondance plus ou moins arbitraire entre les 

 coordonnées d'une flèche /et celles d'un point P. Un rôle essen- 

 tiel paraît appartenir, dans cette coi-respondance, aux systèmes 

 de référence respectifs des deux espaces, (S, ^) pour la sphère, 

 le tétraèdre T pour E,'' : pour que la corrélation conserve une si- 

 gnification réelle, d'ordre géométrique, il est indispensable que les 

 repères n'interviennent pas en fait, ou que la relation instituée 

 entre les deux espaces possède un cai'actère invariant par rap- 

 port aux éléments de référence. C'est cette invariance qu'il s'agit 

 de mettre en lumière maintenant. 



>5 3. — Invariance di<: la Correspondance entre les 

 deux espaces. 



A cet effet rappelons quelques propriétés élémentaires qui se 

 rattachent aux formules de Rodrigues; elles ne s'expriment 

 aisément que grâce à l'intervention du calcul des quaternions 

 dont je n'ai pas à rappeler ici les principes. 



