128 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



Si un point de la sphère a pour coordonnées x^, x^, x^ par 

 rapport à S, faisons-lui correspondre un quaternion (vecteur) 



? = .»i/i -1- xji + Xiii . (3) 



Soit d'autre part 



P = l>o + JH il + Pi h + }h '3 . ^Ph = 1 • 



un quaternion unimodulaire, dont les composantes, relativement 

 au système S, soient égales aux pai-amètres de Rodrigues défi- 

 nissant un mouvement de la sphère autour de son centre. Alors 

 V Si la rotation p est appliquée au point ?, elle le transfor- 

 mei-a en un nouveau point ?' de coordonnées x[, x[, x[ 



8' = X i -\- r i -\- x„ i , 

 ■ 11' sa' 33' 



et l'on aura 



^ç' = p'çp, (41 



où^; désigne le quaternion conjugué dep, à savoir 



p = Po — Pi il — Pi '2 — Pi 'j • 



2" La succession de deux rotations^ et q, exécutées dans cet 

 ordre, équivaut à une nouvelle rotation de quaternion 



qp . (5| 



Selon les proi)riétés du calcul des quaternions l'ordre des fac- 

 teurs, dans cette composition des rotations, ne peut être altei-né. 



3" Entraînons le trièdre S de référence, et changons-le en un 

 nouveau trièdre S' par le moyen d'une rotation dont le quater- 

 nion soit q relativement à S. 



Dans ces conditions, si une rotation admet jo pour quaternion 

 représentatif quand on la rapporte au premier tiièdre de réfé- 

 rence, le quaternion deviendra 



qp^j \ (6) 



quand on rapportera la même rotation au nouveau trièdre S'. 



Voici maintenant les conséquences à tirer de là. On a rap- 

 porté les flèches de la sphère au système de référenc»^ (S,^), et 



' Rem.Trquer qu'on pourrait mettre le signe — devant ces deux for- 

 mules, sans changer le résultat. 



