130 GÉOMÉTEIE DE RIEMANN 



lièche r„ quand on déplace à la fois S et /"„ , par une même ro- 

 tation^, après les avoir rendus solidaires lun de Tautre. 



Or, on reconnaît immédiatement dans la formule de transfor- 

 mation (10) celle de la transformation des axes dans l'espace E^". 

 La chose est d'ailleurs évidente en soi: car cette formule (10) 

 est linéaire quant aux coordonnées e^ et e^; elle renferme au- 

 tant de paramètres que le mouvement général de l'espace Ej . trois 

 par quaternion unimodulaire r ou s, soit six en tout. Enfin la 

 mémo formule laisse invariante la forme fondamentale 



'^[ + ^ + '\ + '\ ■ 

 Et voici la conséquence de tout cela. 



Ou amis on correspondance, parla coïncidence de leurs coor- 

 données, d'une part une flèche f appartenant à la sphère, de 

 l'autre un point P situé dans E, ; si on s'avise de change?- le 

 système de référence auquel est rapportée la flèche (S, f^), le 

 point associé à f dansE'., n'a pas bougé ; seul le trièdre coor- 

 donné T s'est déplacé dans l'espace. C'est la propriété d'inva- 

 riance dont j'ai parlé plus haut. 



Toute Géométrie particulière n'est au fond que l'étude des 

 propriétés d'un certain groupe, le groupe des mouvements. Un 

 groupe commun — quelle que soit la forme spéciale des éléments 

 de deux géométries, point ou di'oite par exemple, — fait de ces 

 géométries un seul et même corps de doctrine, l'une n'étant que 

 l'image de l'autre. Telle est bien la circonstance que nous offrent 

 la Géométrie de l'espace E^' et celle des lamelles mobiles à la sur- 

 face de la sphère. 



Nous sommes encore au point de départ de l'une et l'autre, et 

 le peu que nous avons emprunté à leurs théories respectives 

 suffit déjà pour affirmer a priori leur identité substantielle. 

 D'avance il est certain que nous pouvons imiter avec les lamelles 

 de la sphère toutes les propriétés, métriques et projectives, de 

 l'espace ponctuel E^'. 



Il ne s'agit que d'un décalque; je vais y procéder sans m'at- 

 tacher à suivre un ordre rigoureusement logique ni prétendre 



