132 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



Cela posé, il est facile de voir que deux figures inverses étaut 

 données, si on prend la symétrique de la première par rapport à 

 un grand cercle, et la symétrique de la seconde par rapport au 

 pôle du grand cercle précédent, ces deux symétriques coïncident. 



Des figures (ou flèches) qui sont symétriques par rapport à un 

 centre sont conjuguées, suivant la terminologie adoptée plus 

 haut; elles sont toujours cougruentes. Nommons de même 

 figures (ou flèches) réflexes celles qui sont symétriques par rap- 

 port à un arc de grand cercle; l'une d'elles estcongruente à 

 l'inverse de l'autre. 



Tout ceci étant bien compris, la deuxième définition du couro- 

 noïde est immédiate ; et voici les deux définitions réunies dans 

 un seul énoncé. 



Le coitronoïde est le lieu des flèches conjuguées à une flèche 

 fixe f, c'est aussi le lieu, des flèches réflexes d'une seconde flèche 

 fixe if,. Les flèches f et f^ (qui s'appellent respectiiiement la flèche 

 conjuguée et la flèche réflexe du couronoïde) sont inverses l'une de 

 Vautre. 



L'analogue de la droite riemannienne est la couronne : c'est le 

 lieu d'une flè;;he qui tourne autour d'un centre fixe c. La cou- 

 ronne possède deux centres puisqu'on aurait pu faire tourner 

 la flèche autour du centre c'. opposé à c, plutôt qu'autour de 

 c. lui-même, sans changer la couronne. 



Il y a évidemment co'^ couronoïdes diflérents, autant que de 

 plans dans E[, Les droites de l'espace sont au nombre de oo^ ; et 

 de même, il existe sur la sphère co^ couronnes, se distinguant 

 les unes des autres par leur centre, leur rayon, et l'angle cons- 

 tant suivant lequel la flèche mobile rencontre la circonférence 

 décrite par son origine. 



L'analogie qui existe entre les couronnes de la sphère et les 

 droites non euclidiennes n'est point évidente a priori. Pour la 

 manifester, une construction, corrélative de celles des droites 

 conjuguées de E, , est indispensable, celle de la fig. (1). 



Deux couronnes C et C sont dites conjuguées, si identiques 



autre flèche égale à la première et qui peut s'appliquer sur celle-ci sans 

 retournement ; il y a là une circonstance à remarquer, dont l'omission peut 

 devenir une source d'obscurités. 



