134 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



leurs flèches respectives sont également inclinées sui- la circon- 

 férence de la base, de part et d'autre de la normale. 



On reconnaît immédiatement l'exactitude des propriétés sui- 

 vantes : 



1° Deux flèches quelconques respectivement placées sur les 

 deux couronnes conjuguées sont elles-mêmes conjuguées; le 

 centre de la rotation amenant l'une sur l'autre est en y au mi- 

 lieu de l'arc qui joint les points d'application. Les couronnes 

 conjuguées sont ainsi l'analogue des droites conjuguées de l'es- 

 pace E^ , dont les points respectifs sont aussi conjugués deux à 

 deux. 



Toute droite possède une conjuguée, toute couronne pareil- 

 lement. 



2° Deux flèches quelconques prises dans deux couronnes ré- 

 flexes sont aussi réflexes entre elles. L'arc de grand cercle par 

 rapport auquel elles sont symétriquement placées divise en deux 

 parties égales celui qui unit leurs points d'application. 



3" Si l'on fait chavirer^ une flèche fixe f successivement au- 

 tour de tous les centres placés sur l'équateur y, elle engendre 

 une couronne C. Autrement dit, le lieu des symétriques d'une 

 flèche fixe par rapport aux différents rayons d'un faisceau plan 

 est une couronne '\ 



4" Une couronne est encore le lieu des symétriques d'une 

 flèche fixe ^ par rapport à tous les arcs de grand cercle passant 

 par un même point. 



De ces propi'iétés découle une série de conséquences ressem- 

 blant trait pour trait aux propriétés classiques de la droite et 

 du plan non euclidiens ou euclidiens; au fond, elles leur sont 

 identiques, le couronoïde étant l'image du plan, la couronne 

 celle de la droite^. 



' Tourner de 180^. 



- Toute couronne peut être engendrée de co' manières, tant par le pro- 

 cédé n° 3, que par le procédé n° 4. La flèche f sera empruntée comme on 

 voudra à la couronne conjuguée, la flèche /"^ à la couronne réflexe. Le point 

 c est au centre de la couronne donnée, l'équateur y est parallèle à sa 

 base. 



^ Le lecteur pourra aisément reconstituer les raisonnements dans le dé- 

 tail .; je me borne à les esquisser seulement où besoin est. 



