GKOMKTRIE DE RIEMANN 187 



La rotation (//') qui transporte /"sur /' peut être remplacée 

 par la succession des deux rotations (ffo) et (/o/"); ainsi donc, 

 d'après la règle de la composition des rotations, le quaternion 

 représentatif du mouvement (ff') vaudra 



D'une part, Tinvariant (13) est la partie scalaire du produit 

 précédent ; de l'autre, cette même partie scalaire, conformément 

 aux relations (2), est égale au cosinus de la moitié de l'angle dont 

 la flèche doit tourner pour s'appliquer sur /'. En rapprochant 

 ces deux faits, nous sommes conduits à la définition suivante : 



Par convention, nommons amplitude, r/randeur, ou mesure 

 d'une rotation, la moitié de l'angle de cette rotation ; nommons 

 encore distance de deux flèches l'amplitude de la rotation qui 

 applique l'une sur l'autre. 



Alors, l'invariant 



00' 11' as' 38' 



lequel, dans E,, mesure le cosinus de la distance de deux points 

 r, et r/, mesurera dans la Géométrie des flèches, le cosinus de la 

 distance de deux flèches, savoir celles qui correspondent aux 

 points ïi et t/. 



La distance n'est pas une quantité admettant une détermina- 

 tion unique; les flèches étant données, elle possède deux valeurs 

 ± '.). auxquelles on peut encore ajouter des multiples quelcon- 

 ques de -. Et ainsi, l'invariant possède deux valeurs égales et 

 désignes contraires; le changement de signe, dans (13), cor- 

 respond à celui d'une des séries e^ ou e'^ . 



Quant à la partie vectorielle du même quaternion [r/ïîj, elle 

 n'est pas invariante dans le changement d'axes, mais sa signifi- 

 cation n'en est pas moins remarquable. 



En écrivant cette quantité sous la forme 



[ï] y,] =: fri/i + t\ii -j- fj/sl sin «i , • (14) 



les trois lettres c, , c.^, Cg représentent, relativement an trièdre S, 

 les coordonnées du centre delà rotation qui amène la flèche r, sur 

 la flèche r' '. 



' Je représenterai souvent par la même lettre une flèche et le quater- 

 nion correspondant. 



