140 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



espace, la définition est trop large, parce qu'elle comprend les 

 retournements qui changent une figure en une figure égale 

 quoique non congruente. 



Pour exclure les retournements, il faut ajouter que l'ensemble 

 de tous les mouvements doit former un groupe continu de trans- 

 formations. Une pareille restriction est inutile pour les mouve- 

 ments des systèmes de flèches. 



En effet, si une figure ponctuelle correspond par retourne- 

 ment à une autre figure, il suffit de changer dans l'une de ces 

 figures un seul des points en son diamétralement opposé pour 

 obtenir deux figures congruentes. Or un tel changement n'en 

 entraîne aucun dans le système de flèches corrélatif à la figure 

 ponctuelle qui l'a subi; pour les flèches il est donc superflu de 

 compléter la définition de mouvement donnée plus haut. 



Parmi les mouvements, au sens large, des systèmes de flèches, 

 deux catégories s'imposent d'abord à l'attention, ce sont les 

 rotations et les antirotations '. 



Faisons tourner la sphère autour d'un axe quelconque issu 

 du centre; cette rotation, au sons ordinaire du mot, est un 

 mouvement au sens large. Ce n'est pas le seul, et pour bien 

 distinguer, nous désignerons ce mouvement au sens étroit" sous 

 le nom de déplacement, ou simplement de rotation. 



La rotation s'opère autour d'un centre c, fixe sur la sphère, 

 ou, ce qui revient au même, autour du centrée', diamétralement 

 opposé à r ; le centre étant placé, il faut, pour achever de dé- 

 finir la rotation, donner son amplitude, c'est-à-dire, comme il a 

 été convenu plus haut, la moitié de l'angle de rotation. 



Il est clair que toutes les rotations forment un groupe de œ-^ 

 opérations ; car le centre de la rotation peut recevoir oo^ positions 

 à la surface de la sphère, pendant que la grandeur de la l'otation 

 dépend d'un nouveau paramètre. La propriété de ces '^^ opéra- 

 tions déformer un groupe résulte immédiatement de la compo- 

 sition des rotations qui nous permet de remplacer par une seule 



' Le choix d'une bonne terminologie est une des difficultés du sujet. Je 

 n'ose me flatter d'en avoir adopté une qui soit toujours claire et exclusive 

 de toute confusion. 



- La rotation, comme on sait, est le mouvement le plus général au sens 

 étroit. 



