GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 141 



rotation la suite de deux autre''. Je représenterai souvent une 

 rotation quelconque par le symbole R. 



(Contrairement à ce qu'on pourrait imaginer d'abord, les 

 rotations R n'épuisent pas l'ensemble de tous les mouvements 

 possibles an sens larr/e. 



A côté des rotations W, nous pouvons distinguer de nouvelles 

 opérations qui ne modifient pas non plus la distance de deux 

 flèches quelconques, et que j'appellerai les (mtidéplacements, ou 

 les antirotations c'T. Leur définition est la suivante'. 



Associons h toute flèche f une autre flèche /'' qui lui soit inva- 

 riablement liée, de manière qu'on obtienne f en faisant tour- 

 ner /", d'un angle déterminé, autour d'un centre r, dont la 

 position relativement à la flèche f, soit donnée a priori, tandis 

 que sa position sur la sphère fixe est variable avec celle de la 

 flèche f. 



Il est clair que l'antirotation n'est pas un mouvement au sens 

 ordinaire du mot; dans ce dernier cas en eftet, c'est par rapport 

 à la sphère donnée que le centre de rotation est fixe, non par 

 rapport aux diverses flèches de la sphère. 



Je dis que l'antirotation définit au contraire un mouvement 

 au sens large. Car supposons deux couples de flèches solidaire- 

 ment liées, le couple (/", f) d'une part, le couple (?, ?') eu 

 second lieu, de telle sorte que la figure (/", f) soit la même que 

 (?, ?') à la position près. De là résulte que si une rotation R 

 amène /' en coïncidence avec ?, la même rotation appliquera f 

 sur ?', et ainsi la distance finale des deux flèches (/"', 9'), qui ont 

 subi une antirotation dv = (/", f) = (?, ?'), est restée égale à 

 la distance initiale (/", ?) qui séparait les mêmes flèches avant le 

 mouvement. 



La figure (3) suggère immédiatement une remarque essen- 

 tielle. Les deux opérations R et lK, exécutées Vune après l'autre, 

 amènent une 'flèche quelconque i dans la même position, quel que 

 soit leur ordre de succession : autrement dit, ces opérations sont 

 permutables, et l'on rt Rcîv ^ iRR. 



En eff'et, si on transforme f par R, cette flèche vient en r, elle 



' La rotation correspond à l'opération y,' = ^r„ l'antirotation à l'opé- 

 ration r,' =: ï,^. 



