T42 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



se transporte ensuite en ?' après l'opération ûl. Si Tordre des 

 opérations est interverti, /"s'applique d'abord sur /', puis sur ?' '. 

 Il est clair que les antirotations forment, elles aussi, un groupe 

 de oc'' transformations non permutables"^ : c'est un nouveau sous- 

 groupe contenu dans le groupe général des mouvements au sens 

 large. En combinant une série quelconque de rotations et d' anti- 

 rotations, nous obtenons des mouvements que nous appellerons 

 rotations on déplacements mixtes; d'après les propriétés étudiées 

 à l'instant, nous savons que toute rotation mixte s'obtiendra en 

 composant une seule rotation R avec une seule antii'otation dv. 



L'ordre des facteurs est arbitraire, et la décomposition ne 

 peut être etïectuée que d'une seule manière. En effet une égalité 

 comme 



RL/l = K'tîl' 

 donnerait 



R'-'R = c/l'c«l~\ 



ce qui est faux, le premier membre étant une rotation, le second 

 une antirotation. 



En résumé le groupe G = Rt^v des rotations mixtes, est à six 

 paramètres; nous allons montrer qu'un mouvement quelconque 

 au sens large est contenu dans le groupe G, de sorte que l'en- 



' Cette propriété est la même que celle des translations euclidiennes : 

 c'est sur elles que se fondent les propriétés du pcuallélogramme de Clifford, 

 analogues à celles du parallélogramme euclidien dont je parle plus loin. 



- La succession de deux antirotations est équivalente à une certaine 

 antirotation, la propriété s'établit immédiatement. 



