144 GÉOMÉTRIE DE RIEMANN 



Soient deux flèches déterminées choisies à volonté dans deux 

 couronnes, de rayons quelconques, mais de même centre. Quand 

 on fait tourner ces flèches ensemble autour du centre commun, 

 elles engendrent respectivement les deux couronnes sans que leur 

 situation relative ait changé. Ainsi, étant donné une couronne 

 C, il existe toujours une anti rotation qui transforme cette cou- 

 ronne en une autre de forme quelconque' ; il suffit que la seconde 

 couronne soit concentrique à la première. 



Cela posé, reprenons les flèches /", f . f" et ?, ?', ?"; construi- 

 sons les couronnes C et r unissant /", f d'une part et ?, r' 

 d'autre part. Puis transformons F par le moyen d'une antiro- 

 tation (./v qui la convertisse en une couronne y identique à C, à 

 la position près. Soient 4> et *' les positions dans y des trans- 

 formées des flèches ? et ?'. 



En faisant glisser y à la surface de la sphère par le moyen 

 d'une rotation R, on peut l'appliquer sur C, cela de manière que 

 les flèches f et <!> coïncident. Et alors, à cause de la relation 



f et '!>' coïncideront aussi-, 



La construction précédente, qui ne nous renseigne pas sur la 

 position définitive de la flèche ?", est possible d'une infinité de 

 manières. Montrons-le, 



Prenons une couronne quelconque. 11 est évident qu'une rota- 

 tion r d'amplitude quelconque, exécutée autour de son centre 

 la laisse invariante, ne fait qu'échanger les unes contre les 

 autres les flèches de la couronne. D'autre part, comme les flèches 

 de la couronne peuvent être associées deux à deux de manière 

 que la situation relative des flèches de chaque couple soit con- 

 stante d'un couple à l'autre, il existe une infinité d'antirotations 

 P qui laissent invariante la même couronne tout en permutant 

 entre eux les éléments qui la composent. 



Admettons que r et p possèdent la même amplitude ; il est 



' Cela est possible d'une infinité de manières. Je vais y revenir. 



- On peut toujours imaginer que les sens suivant lesquels f. f et v, ç' 

 se succèdent sur leurs couronnes respectives sont identiques ; il suffit 

 d'échanger, si besoin est, le centre c d'une des couronnes contre le centre c' 

 diamétralement opposé. 



