146 GÉOMÉTRIE DK RIEMANN 



h la sphère Timage des axes conjugués caractérisant un mouve- 

 ment de lespace E,'. 



En effet tout mouvement des flèches résulte de la rotation 

 mixte Rtîv. Soit c le centre de la rotation R sur la sphère fixe, 

 c' le point diamétralement opposé. Soient encore y, /la figure 

 formée par le centre de Tantirotation cR, et par une flèche quel- 

 conque soumise à cette antirotation. 



Les seules couronnes dont la forme reste inaltérée sous l'in- 

 fluence de la rotation mixte RtR sont congruentes à celle qu'en- 

 gendre /"en tournant autour de y. Pour que la situation de la 

 couronne n'ait pas changé non plus, il faut que son centre se 

 trouve en c ou en c' . Ces conditions qui sont nécessaires pour 

 l'invariance sont aussi suffisantes. 



Il existe donc précisément deux couronnes qui se reprodui- 

 sent par le mouvement; elles sont centrées en c et c', et leur 

 conformation est identique à celle de la figure (/", y) '. 



Réciproquement, pour qu'un mouvement soit com|)iètement 

 déterminé, il ne suffit |)as de se donner le couple de couronnes 

 conjuguées C et C qui reste invariant sous l'effet du mouve- 

 ment ; il y faut ajouter les glissements 2w, %<)' subis par chacune 

 de ces couronnes. Les choses se présentent comme suit: 



Pi'enons une rotation R et une antirotation cK , chacune d'am- 

 plitude w' en sens contraire, qui laissent Tune et l'autre C 

 inaltérée; prenons encore une rotation R' et une antirotation 

 01', d'amplitude w, laissant la couronne C invariante dans son 

 ensemble, non dans ses éléments. Les 4 opérations R, J{',LK,ifl' 

 exécutées simultanément définissent un mouvement qui ne 

 change pas la position des coui'onnes C et C sur la sphère, tout 

 en les déplaçant le long d'elles-mêmes de quantités respectives 

 w et <o'. Il n'existe évidemment pas d'autre mouvement i)rodui- 

 sant cet effet. 



Nous avons ainsi obtenu une image concrète du mouvement le 

 plus général dans l'espace E^'; tout déplacement dans cet espace 

 est complètement caractérisé à l'aide de deux dioites conjuguées 



* On sait que si un mouvement non euclidien laisse immobile un certain 

 point de E^ , le mouvement se réduit à une rotation autour d'un axe issu 

 de ce point. Un semblable résultat est évident d'après ce qui précède. Si 



