OÉOMÉTRIE DE RIEMANN 147 



invariantes dont chacune glisse le long d'ello-niènie d'une lon- 

 gueur déterminée '. 



i^ S. — Mouvements spéciaux. 



Une description complète du mouvement exigerait des déve- 

 loppements dans lesquels je ne puis entrer ici faute d'espace. 



On connaît l'importance dans E^ des transformations ortiio- 

 gonales vf^r, et ,s'iS, associés à la transformation ponctuelle /-'iS. 



Ces deux transformations sont celles des coordonnées pliické- 

 riennes des droites de l'esjjace; d'avance il n'est i)as douteux 

 qu'elles n'interviennent encore dans la Géométrie des tlèches. 

 Ce sont elles qui définiront le mouvement des couronnes; quand 

 on traite celles-ci comme des objets autonomes, elles se définis- 

 sent par le moyen de coordonnées plïickériennes, et celles-ci se 

 décomposent en deux séries qui subissent respectivement les 

 transformations orthogonales en question rtiV et sr^s -. 



Je ne puis insister. Mais il est impossible, après avoir parlé 

 du mouvement au |)oint de vue le plus général, de ne pas nous 

 arrêter un instant sur ces mouvements spéciaux, la rotation et 

 V (Uitirotation que nous avons vus jouer le rôle de facteurs dans 

 le mouvement général. Pris isolément ils présentent, dans l'en- 

 semble des déplacements, un caractère distinctif très remar- 

 quable: c'est de laisser invariantes non plus deux couronnes 

 seulement, mais une infinité. 



Ce fait est étroitement lié avec le phénomène du parallélisme 



une flèche f^ après avoir subi une rotation mixte RtR, est revenue dans 

 sa position primitive, les deux mouvements R et iK, ont lieu autour du 

 même centre; ils sont opposés et d'intensité égale. 11 existe alors nécessai- 

 rement une couronne dont les flèches n'ont pas bougé, et cette couronne 

 contient la flèche donnée. 



' Le déplacement d'un point de l'espace E^ ne dépend, comme on sait, 

 que de la situation du point par rapport aux droites invariantes, 'o et '<>' 

 étant donnés. Au point de vue algébrique le cosinus du déplacement du 

 point T, est égal à la quantité scalaire {rt^s-i{). 



- Formons les six déterminants qui constituent les seules combinaisons 

 bilinéaires gauches où entrent les coordonnées de deux flèches choisies à 

 volonté, ces six déterminants sont les coordonnées plûckériennes de la cou- 

 ronne joignant ces flèches. 



